【数学归纳法组合数学】容斥原理

问题提出

有n个条件，要求不重复统计满足一到n个条件的所有可能数。

容斥原理

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
$\sum_{i:1}^m(-1)^{i+1}$ $\choose i$ cnt[i]
cnt[m] 记录所有满足m个条件的可能数。

下面来证明：
其本质是：集合求并。

贡献法

针对某个元素（某种情况）,它在m个集合中（符合m个条件）:
统计符合m个条件的情况数是：它被统计 $\choose m$ 次。
统计符合m-1个条件的 $\cdots$ $\choose m-1$ 次
$\vdots$
统计符合1个条件的 $\cdots$ $\choose1$ 次

它应该被统计一次，下面来证明：
$\sum_{i:1}^m(-1)^{i+1}$ $\choose i$ $\equiv 1$
$\sum_{i:1}^m(-1)^{i+1}$ $\choose i$ = - $\sum_{i:1}^m(-1)^{i}$ $\choose i$ = Y
-Y+1 = $\sum_{i:0}^m(-1)^i$ $\choose i$
根据二项式定理：-Y+1== (-1+1)^m = 0
$\rightarrow$ Y =1

相关知识点

帕斯卡法则

从n个不同的物品中选择m个，我读书的时候，是如下表示的：
C $_n^m$ ,latex公式是如下表示的： $\choose m$ 。
帕斯卡法则： $\choose m$ = $\choose m$ + $\choose m-1$
分别对应n选择m的两种情况：
第一个物品没选择和第一个物品选择。

二项式定理

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理。
$(x+y)^n= \sum_{i:0}^n{n \choose i}x^iy^{n-i}$
下面用数学归纳法证明。
当n=1是
$\sum_{i:0}^1{n \choose i}x^iy^{n-i}=x^0y^1+x^1y^0=y+x$ 得证。
下面来证明n=m成立，则n=m+1也成立。
$(x+y)^{m+1}=x(x+y)^m+y(x+y)^m \\ = x\sum_{j:0}^m {m \choose j} x^jy^{m-j}+y\sum_{k:0}^m{m \choose k}x^ky^{m-k} \quad 根据假设 \\ = \sum_{j:0}^m{m \choose j}x^{j+1}y^{m-j}+\sum_{k:0}^m{m \choose k}x^ky^{m-k+1} \quad x、y提到累加内 \\ = \cdots \sum_{k:1}^m{m \choose k}x^ky^{m-k+1}+y^{m+1} \quad提取k==0，式一 \\ =\sum_{k:1}^{m+1}{m \choose k-1}x^ky^{m-k+1} \cdots \quad 设j=k-1，及k=j+1 \\ =\sum_{k:1}^{m}{m \choose k-1}x^ky^{m-k+1}+ x^{m+1} \cdots \quad 提取k==m+1 式二\\ =\sum_{k:1}^{m}({m \choose k-1}+{m \choose k})x^ky^{m-k+1} +\cdots \quad 式一式二的累加部分结合\\ =\sum_{k:1}^{m}{m+1 \choose k}x^ky^{m-k+1} +\cdots \quad 帕斯卡法则 \\ 式一余下的部分就是k==0,式二余下的部分就是k=m+1 得证$

扩展阅读

视频课程

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