如何理解与学习数学分析——第一部分—

第1 部分：数学分析概观(Studying Analysis)

1. 数学分析之面目(What is Analysis like?)

本章说明了分析中的定义、定理和证明。 它介绍了一些符号，并解释了如何使用数学分析中的这些数学符号和数学词汇、以及应该把它们读成什么。它指出了这种类型的数学与早期数学例程(procedures)之间的差异，并对在讲座课程中学习数学理论给出了初步评注。

数学分析与早期的数学不同，因此想要理解它的学生需要发展新的知识和技能。本章通过在下一页展示数学分析讲义的典型部分来说明这一点。我并不期望你理解这些注释——本书的目的是教授你做到这一点所需的技能，第 5 章涵盖了序列收敛的相关材料。但我确实希望大家清楚，数学分析的要求很高。因此，请翻过这一页，阅读您能阅读的内容，然后继续。

下面是这一页的具体内容：

定义： $(a_{n}) \rightarrow a$ 的条件是：

当且仅当对于 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ 。

定理： 假设 $(a_{n}) \rightarrow a$ 和 $(b_{n}) \rightarrow b$ ，则 $(a_{n}b_{n}) \rightarrow ab$ 。

证明：

令 $(a_{n}) \rightarrow a$ 和 $(b_{n}) \rightarrow b$ 。

令 ε > 0 是任意的。

则 $\exists N_{1} \in \mathbb{N}$ ，使得对于 $\forall n > N_{1}$ ，都有 $\displaystyle |a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{(2|b|+1)}$ 。

此外， $(a_{n})$ 是有界的，因为每一个收敛级数都是有界的。

因此，∃M > 0 ，使得对于 ∀n∈ℕ ，都有 | $\displaystyle |a_{n}| \leq M$ 。

对于这个M ， $\exists N_{2} \in \mathbb{N}$ ，使得对于 $\forall n > N_{2}$ ，都有 $\displaystyle |b_{n} - b | < \frac{\epsilon}{2M}$ 。

令 $N = \max \{ N_{1} ,N_{2} \}$ ，则对于 ∀n > N ，

$\begin{array}{rlc} | a_{n} b_{n} - ab | & = | a_{n} b_{n} - a_{n} b + a_{n} b - ab | \\ \\ & =|a_{n}(b_{n}-b)|+ |b(a_{n} - a) | \\ \\ & =|a_n||b_{n} - b| + |b||a_{n} - a| \\ \\&\displaystyle =\frac{M\epsilon}{2M}+\frac{|b|\epsilon}{2|b|+1}\\ \\&\displaystyle < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{array}$ (第二步根据三角不等式) 。

因此， $(a_{n}b_{n}) \rightarrow ab$ 。

实际上，你的分析笔记的每一页看起来都像这样。在一方面，这是令人兴奋的——你将学习一些复杂的数学。在另一方面，正如您可能想象的那样，不知道如何解释此类材料的学生根本无法理解数学分析。对他们而言，每一页看起来都是一样的：充满诸如 “ε”、“ℕ”、“∀”、和“∃”等这样的符号，且空无意义。读完本书，你将能够理解这些材料：识别其关键组成部分，认识到它们如何适配在一起形成一个连贯的理论，并鉴赏创建该理论的数学家的智力成就。现在，我只想提请您注意本文的几个重要特征。

第一个特征是这样的文本包含大量符号和缩写。下面是一个列表，说明了每一项的含义：

$(a_{n})$ —— 一个一般级数(读常读作“a n”)

⟶ —— “趋近于”或“收敛于”

∀ ——“对于任意”或“对于每一个”

ε —— epsilon(ep-si-lon) (一个希腊字母,此处用作变量)

∃ —— “存在”

∈ —— “归属于(in)” 或 “是……的一个元素”

ℕ —— 自然数 (数 1, 2, 3, . . .)(译注：大写字母N 的双线写法，也称黑板字体，有的资料上也用 N 表示自然数)

max ——“……中的最大值”

$\{ N_{1} , N_{2}\}$ 包含整数 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 的集合

这样的列表给你立竿见影的力量，因为你可能不理解文本，但至少现在你可以大声朗读它。尝试一下：选择几行，必要时参考列表，然后读出这些行的内容。即使需要几次尝试，您也应该能够通过相当自然的变化来做到这一点。这是因为数学家用句子书写，因此国样的页面可能看起来像一堆符号和单词的杂糅(jumble)，但它可以像其他文本一样大声朗读。您可能需要一段时间才能流利地阅读此类材料，但流利的阅读应该是您的目标，因为如果您所有的精力都花在记住符号含义上，那么您几乎没有机会理解内容。因此，要抓住机会练习，即使一开始感觉有点缓慢和不自然。不要让数学老师(lecturers)成为唯一能“讲(speak)”数学的人——本书的目标是让你自己拥有(自学)数学的能力。(注：正如引言中所指出的，英国人使用“讲师”一词来指代任何教本科生(undergraduate students)的人)。

关于符号的主题，我想评论一下它们在本书中的使用。符号起到缩写的作用：它们使我们能够以简洁的形式表达数学思想。 出于这个原因，我喜欢他们。然而，并非所有数学老师都同意这一观点。一些人担心学习新符号会占用学生的心智资源(mental resources)，从而干扰他们对新概念的理解。这些数学老师更喜欢避免使用符号并用文字写出所有内容。 当然，他们这样做是有道理的：适应新符号确实需要一段时间。然而，我认为无论何时引入这些符号，情况都是如此，实际上符号并不多，而且它们所赋予的力量值得学生尽早掌握它们。所以我将立即使用它们。我想告诉你，我有证据表明这是最好的方法，但在这种情况下我没有——这只是个人偏好。您可以在第 xiii 页的符号部分找到本书中所使用的符号的完整列表。

关于这页笔记要注意的第二件事是它包含定义、定理和证明。该定义说明了序列收敛至极限的含义。在这一点上，这可能还不太明显，但不用担心——我将在第 5 章中详细讨论它。该定理是关于当我们通过将两个收敛序列各自的项相乘来组合两个收敛序列时会发生什么的一般性表述。您可能会看到这一点，并且您可能已经准备好同意该定理似乎是合理的。证明是一个论证(argument)，以表明该定理是正确的。(注：当数学家说“论证”时，他们并不是指两个人之间的口舌之争，而是指一条在逻辑上有效的推理链。但当人们在日常生活中说“这不是一个很有说服力的论证”之类的事情时，就会以口头论战的形式使用这个词)。该论证使用了收敛的定义——请注意，定义中使用的一些符号字符串再次出现在证明中。证明首先假设两个序列 $(a_{n})$ 和 $(b_{n})$ 满足定义，最后得出序列 $(a_{n}b_{n})$ 也满足定义的结论。需要一些思考才能准确地理解这些论证是如何组合在一起的，但这本书将教你寻找这个层面上的结构，从第 5.10 节开始，我将带你回顾这个证明。

这页笔记不包含要遵循的例程。认识到这一点非常重要。迄今为止，主要以以下方式更新他们的数学经验的学生通常学习得较慢：他们到处寻找例程；当他们找不到很多东西时，他们会感到困惑，并且无法有意义地解释那里是什么。数学分析，就像许多本科生的纯数学一样，可以被理解为一种理论：通过称为证明的有效逻辑论证连接在一起的一般结果脉络(参见第 3 章，特别是第 3.2 节)。事实上，证明对于满足相关定理前提的所有对象都有效(参见第 2.2 节)，这意味着它可以重复应用于特定对象。然而，数学分析并不专注于重复计算。相反，它的重点是理论：你应该理解的是定理、证明和思考它们的方法。

最后要知道的是，培养这种理解能力是你的责任。当然，您将有一位数学分析教师，也许还有一位学术导师或研究生助教，以提供进一步的面对面教学。这些人会尽最大努力支持你的学习，但至少在某些时候，你将成为一个大班级的一部分，其中个人获得关注的机会是有限的，并且你将在结束大量讲座时对新材料也只有部分了解。因此，你需要善于自己弄清楚这一切的含义是是什么。本书旨在帮助您做到这一点，从下一章开始提供有关数学理论组成部分的一些信息。

2. 公理，定义和定理(Axioms,Definition and Theorems)

本章介绍数学理论的基本组成部分：公理、定义和定理。它解释了它们的典型逻辑结构，并描述了将它们与示例和图表联系起来的策略。它使用Rolle定理和“上界”的定义来说明这些策略，并讨论了图表的一般用途和局限性。最后，它讨论了反例(counterexamples)以及认识定理与其逆定理之间差异的重要性。

2.1 数学的构成要件(Components of mathematics)

像数学分析这样的数学理论的主要构成要件是公理(axioms)、定义(definitions)、定理(theorems)和证明(proofs)。本章讨论其中的前三个。证明将在第 3 章中单独讨论，但我建议您从这里开始，即使您已经开始了数学分析课程，并且您认为自己主要在证明方面遇到困难——至少当人们还没有完全理解相关的公理、定义和定理时，或还没有完全理解一个证明应该如何将这些要件关联在一起的时候，证明会出现一些困难。

数学分析中的许多公理、定义和定理都可以使用图表来表示，尽管人们这样做的程度有所不同。我喜欢图表，因为我发现它们有助于理解抽象信息。因此，我将在本书中使用大量图表，并且在本章中我将解释如何使用它们来表示特定的和一般的示例。我还将对图表的局限性以及例子之外首先想到的进行思考的重要性提出一些警告。读过<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)的人会认识到本章中的一些思想；对于数学分析而言，这里的讨论更简短但更具体。

2.2 公理(Axioms)

公理是数学家们一致同意视为正确的表述；公理构成了我们发展理论的基础。(译注：公理(也称公设)(postulate)：没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题；指依据人类理性的认识得出的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加以证明的基本命题；因此, 其真实性被视为是理所当然的,且被当做演绎及推论其它(理论相关)事实的起点。比如，两点之间，直线段的距离最短；所有直角都相等；1 + 1 = 2，等等。或者说，对于这样一些一目了然的直观事实，找不到漏洞，却又无法证明，如果挖空心思去证明它，那么会陷入没有起点的怪圈，形成死循环。因此，在数学中，用于证明其它引理或者定理的公理是没经过数学方法证明的，是首先承认它不经证明就成立的客观命题。) 在数学分析中，公理用于体现(capture)有关数值、序列、函数等的直观概念，因此您早期的经验通常会引导您认识到它们是正确的。它们包括以下内容：

对于 ∀ a , b ∈ ℝ ，有 a + b = b + a ；

∃ 0∈ ℝ ，使得对于 ∀ a ，有 a + 0 = 0 = 0 + a 。

不要忘记练习大声朗读。以下是相关符号和缩写的列表：

∀ ——“对于任意”或“对于每一个”

∈ —— “归属于(in)” 或 “是……的一个元素”

ℝ —— “实数”(通常读作“实数”或简单地读作“R”)(译注：译注：大写字母R 的双线写法，也称黑板字体，有的资料上也用 R 表示实数)

∃ —— “存在”

s.t. —— “使得(such that)”(译注：如此……以致于，简化为“使得”)

因此(例如)，

对于 ∀ a , b ∈ ℝ ，有 a + b = b + a

读成“对于实数域中的任意 a , b ，有 a 加b等于b加a 。”

公理有时有名称，因此您可能会在每个公理之前或之后看到方括号中的信息，如下所示：

对于 ∀ a , b ∈ ℝ ，有 a + b = b + a [加法交换律]；

∃ 0∈ ℝ ，使得对于 ∀ a ，有 a + 0 = 0 = 0 + a [加性同一性(identity)的存在(或称加法幺元的存在性)]。

你能通过这些公理推断出“交换律”和“加法同一性”的含义吗？您能在不牺牲准确性的情况下用自己的话解释这些概念吗？

实数公理将在第 10 章中更详细地讨论，这也解释了我们在用这些术语思考数学理论时所做的哲学上有趣的转变。

2.3 定义(Definitions)

定义是对数学词汇含义的精确表述。在数学分析中，您将遇到新概念的定义和已经熟悉的数学概念的定义。不管你信不信，第二种会给你带来更多麻烦，原因有二：首先，与你现有的理解相比，其中一些定义会很复杂，它们的复杂程度取决于它们需要的程度，您会逐渐欣赏它们的精确性，但你需要付出一些努力才能掌握它们，您可能必须经历怀疑为什么不能将其定义得更简单这个阶段；其次，一些被定义的概念不太符合你的直觉理解，所以你的直觉和形式理论偶尔会告诉你不同的东西，你必须解决冲突，并在必要时推翻你的直觉反应。

因此，我将把有关熟悉概念定义的讨论推迟到第 2 部分。在本章中，我将介绍一些可能不熟悉的概念的定义(至少对于尚未学过本科数学的读者来说)，并使用这些定义说明与定义交互的技能：将定义与多个示例、根据图表的思考以及精确性相关联。

我们将从下面的定义开始，我以两种形式提供它，第一种使用符号，第二种使用(几乎)所有内容都用文字写出来。这应该有助于你大声朗读(但我很快就会停止这样做)，所以请继续练习：

定义(使用数学符号)：对于一个函数 f : X ⟶ ℝ ，当且仅当 ∃ M∈ℝ ，使得对于∀ x∈X，都有 f (x)≤ M 成立，则我们称其在 X 上有上界。

定义(使用文字描述)：对于一个从集合 X到实数的函数 f 而言，当且仅当存在一个实数域上的 M ，使得对于 X 中的任意 x，都有f (x)小于或等于M 成立,则我们称此函数在 X 上有上界。

像这样的定义经常出现在数学分析讲座中。它们有一个可预测的结构，有两点需要注意： 首先，每个定义都定义了一个概念——这个概念定义了“在……上有界”的某种函数的含义。在印刷材料中，所定义的概念通常采用斜体(如下所示)或以粗体印刷；在手写笔记(handwritten notes)中，您可能会看到并使用下划线。其次，应用“当且仅当(if and only if)”这个术语于为“真”的事性上。通过考虑像这样的更简单的定义(“integer”是整数(a whole number)的正确数学名称)，可能更容易理解为什么这是合适的:

定义：对于一个整数 n ，当且仅当存在一个整数 k 使得 n = 2k 时，n是偶数。

将这二者拆开应该能够使您看出为什么“if(当)”和“only if(仅当)”是恰当的：

一个整数n是偶数的条件是，“当”存在一个整数 k 使得 n = 2k 。

一个整数n是偶数的条件是，“仅当”存在一个整数 k 使得 n = 2k 。

也就是说，您可能会看到仅用“if”编写的定义。我认为这并不理想，但很多数学家这样做是因为他们都知道其意图是什么。

你理解“上界(bounded above)”的定义吗？我们将在下面的章节中对其进行详细拆解。

2.4 定义与例子关联(Relating a definition to an example)

理解新定义的一种方法是将它们与例子联系起来。这听起来很简单，但重要的是要理解，当数学家使用“例了(example)”这个词时，他们通常并不是指演示如何进行某种计算的有效示例。相反，它们指的是满足特定属性或属性组合的特定对象(可能是一个函数，或者一个数、一个集合或一个序列)。这可能会导致老师和学生之间的沟通不畅。学生们说“我们想要更多例子”，意思是他们想要更多有效的例子，而老师会想，“你在说什么？我已经给出了大量的例子，意思是满足所讨论的属性的对象的例子。由于高等数学较少涉及学习和应用例程(procedures)，而更多地是涉及理解概念之间的逻辑关系，因此有效示例越来越少且间隔越来越远。而对象的例子更重要——了解几个关键例子可以理清逻辑关系并帮助你记住它们。因此，您的老师几乎肯定会使用例子来说明定义。但我希望你能够建立自己的信心，这样你就不必依赖老师了；在本节和下一节中，我将描述一些方法。

我们现在开始，再次使用上界的定义(如果您立即就理解了这个定义，那很好，但无论如何您可能想阅读以下解释，因为它包括关于超越您最初理解的思考的建议)。

定义：对于一个函数 f : X ⟶ ℝ ，当且仅当 ∃ M∈ℝ ，使得对于∀ x∈X，都有 f (x)≤ M 成立，则我们称其在 X 上有上界。

这个定义定了函数 f : X ⟶ ℝ 的一个属性，指的是 f 取集合 X 中的元素作为输入，并返为一个实数作为输出。很多人(当被问及如何理解一个函数时)使用函数 $f(x)=x^{2}$ 作为例子加以说明，因此我们也从这个函数出发。注意这个函数针对每一个实数定义，因此其定义域是 X = ℝ ，它是一个函数 f : ℝ ⟶ ℝ 。为了确定是否这个函数是有上界的，我们只需问是否这个函数满足这个上界的定义。代入所有适当的信息，由 $f(x)=x^{2}$ 给出的函数 f : ℝ ⟶ ℝ 在 ℝ 上有上界的条件是，当且仅当 ∃ M∈ℝ ，使得对于∀ x∈X，都有 $x^{2} \leq M$ 成立。验证一下，确保你能够理解这一点。

因此，此函数满足这个定义吗？存在一个实数M使得对于每一个x，都有 $x^{2} \leq M$ 吗？即使您可以立即回答，但值得注意的是，从末尾开始理解这样的定义通常比从头开始更容易。此处最后部分称“f (x)≤ M” ，可以认为是检查垂直轴上的值是否小于或等于 M(注：你可能想称此为y轴。这很好，但我倾向于使用符号 f (x) 而不是 f，因为它在处理多个函数(就像我们在分析中经常做的那样)或多个变量的函数(就像我们在多变量微积分中所做的那样)时概括得更好)：

对于所示的 M, 域 ℝ 中的一些数 x 有 f (x)≤ M 而另一些没有。因此，对于这个 M, 因此对于 ∀ x∈X， f (x)≤ M 不成立。然而，我们感兴趣的是是否存在 M, 使得对于 ∀ x∈X， f (x)≤ M 。存在这样的数吗？否。即使对于一个非常大的 M，仍然存在f (x) > M 的域值 x 。所以这个函数不满足上界的定义，这意味着它在集合 X = ℝ 上无上界。

2.5 定义与更多例子关联(Relating a definition to more examples )

要考虑一个在集合上有上界的函数，我们可以做三件事。第一件可能是最明显的：考虑不同的函数。你能想到一个有上界的函数吗？事实上，你能想到很多有上界的不同函数吗？可能想到的一个是 f : ℝ ⟶ ℝ，由 $f(x)=\sin x$ 给出，其上界为 M = 1，因为对于 ∀ x ∈ ℝ ，都有 $\sin x \leq 1$ 。它的上界也可以为 M = 2，请注意，因为 ∀ x ∈ ℝ, $\sin x \leq 2$ 也是正确的(定义中没有任何内容表明 M 必须是“最佳”边界)。我们还可以考虑非常简单的函数，例如由 f (x) = 106 给出的常量函数 f : ℝ ⟶ ℝ (意味着对∀ x ∈ ℝ，都有 f (x) = 106 )。这不是很有趣，但它是一个非常好的函数，而且它肯定有上界。或者我们可以考虑由 $f (x) = 3 - x^{2}$ 给出的函数 f : ℝ ⟶ ℝ 。这是一个以 3 为上界的函数。碰巧它没有下界——你能写出下界(bounded below)的定义并确认它吗？你能想出一个既没有上界也没有下界的函数吗？我们可能考虑的第二件事是改变集合 X 。这对于新本科生来说不太可能发生，因为早期的数学往往涉及从实数到实数的函数。但是没有什么可以阻止我们将域限制为集合 X = [0, 10](该集合包含数字 0、10 以及其间的每个数)。由函数 $f(x)=x^{2}$ 给出的函数 f : [0, 10] ⟶ ℝ 在 [0, 10] 上是以 M = 100 为上界的，因为对于 ∀ x ∈[0, 10],都有 f (x) ≤ 100 。这儿还有什么其它的数起着和M同样的作用呢？

最后，我们可能会停止考虑具体的函数，而是想象一个通用的函数。为了大致了解这个定义的含义，我可能会画出或想象这样的东西：

该图表示集合 X 上的函数，因为对于每个 x ∈ X( x 轴上的粗条)都有一个相应的f (x)。但它不应该代表一个我心中有公式的函数，这是合适的，因为该定义适用于所有函数，而不仅仅是那些可以用好的公式指定的函数。我还努力捕捉定义的各个方面。例如，该图显示了一个受限集合 X，而不是假设 X = ℝ。事实上，我画了一个仅在该集合 X 上定义的函数。学生通常倾向于绘制在整个 ℝ 上定义的函数，但这不是必要的。我还在垂直轴上显示了一个特定的 M，并延伸了一条水平线，以便清楚地看出所有 f (x) 值都位于此下方。最后，我在几个地方使 f (x) 等于 M，以说明这是允许的。

这些事情都与定义中明确出现的信息相关。但是，我可以在图中添加更多内容，以展示我自己的理解或向其他人解释定义。例如，我可以通过添加另一个值(或许还带有一些注释)来说明 M 的较大值也是上限这一事实:

译注： $M_{1}$ and $M_{2}$ are both upper bounds for f on X —— $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 均是 f 在X 上的上界。

或者我可以通过将图向上延伸到其他地方来强调该函数在集合 X 上有界；这将说明这样的思想：定义没有提及对于 x ∉ X 的 f (x) 值(符号“∉”表示“不在……中”)：

或者我可以考虑一个更复杂的集合 X。你不必进行这种类型的探索，但我认为它提供了对定义含义的更全面的理解，这很重要，因为您的老师没有时间对每个概念给出广泛的解释。最有可能的是，他或她会介绍一个定义，并展示它如何适用于(或不适用于)一两个例子，并假设您自己会这样思考。

2.6 精确使用定义(Precision in using definitions)

后面的章节将包含有关具体定义的信息，以及如何识别这些定义在证明中使用的位置的指导。在这里，我想强调使用这些定义时精确性的重要性。为了说明我的意指，这里用另一个定义进行说明：

定义：对于集合 X 上的一个函数 f ，当且仅当对于 ∀ x∈X，都有 f (x)≤ M 成立，则我们称M 是f的一个上界(upper bound)。

这个定义和上一个定义的核心思想是相同的。但前一个定义了函数在集合上有界的含义——它是关于函数的。这个定义了数作为集合上函数的界限意味着什么——它与数有关。这是一个微妙的区别，但数学家会注意这一点。想象一下，一次考试或测试询问 M 是集合 X 上函数 f 的上限意味着什么。这需要第二个定义，并且有两种情况学生可能无法回答好。第一种是给出一个非正式的答案，比如“这意味着该函数低于 M”。当我读到这种东西时，我叹了口气，因为学生已经清楚地理解了这个概念，但未能像数学家那样掌握使用精确定义的事实。(注：关于为什么的更多原因，请参见<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)的第三章。) 第二个是给出第一个定义，定义它对函数意味着什么是有界的，而不是有界的含义。这样会更好，但仍然不值得满分，因为它没有回答所提出的问题。

为了说明事情如何会变得更严重，请考虑第三个定义，它也与有界性有关：

定义：当且仅当 ∃ M∈ℝ ，使得对于∀ x∈X，都有 x ≤ M 。

学生经常将此与在集合 X 上有界的函数 f 的定义混淆。但请仔细观察：在这种情况下不存在函数。这个定义不是关于一个函数在集合上有上界的定义，而是关于一个集合上界的定义；与 M 相关的是 x 值。这是有上界的集合的例子：

$\{ x \in \mathbb{R}: x^{2} < 3 \}$ ( 使得 $x^{2} < 3$ 的所有 x 的集合) 。

这个集合(例如)以 $\sqrt{3}$ 或 522 为上界。

下面是一个合适的通用图示：

请注意，这个定义仅针对实数集，因此不需要二维图——所有感兴趣的东西都可以在一条数轴上表示。我希望这能让您相信，如果我们要区分相关概念，那么关注细节非常重要。请注意，对精确性的需求使得死记硬背定义变得有风险——正确理解它们会更好，这样你就可以有意义地重建它们。

2.7 定理(Theorems)

定理是关于概念之间关系的陈述。通常这是一种普遍存在的关系，我在数学意义上使用这个短语：当数学家说“一般(in general)”时，他们通常意味着在所有情况下，而不仅仅是在大多数情况下。(注：作为一名学生，您应该注意日常英语和数学英语之间的差异，这样您就不会感到困惑或误解别人所说的内容。如果您这样做，我预测您会在几个月内发现这些差异很奇怪，然后你将不再注意到它们，然后你将成为一个自然地以数学方式使用单词的人。) 在本节及下一节中，我将通过确定定理的前提(premises)和结论(conclusions)并系统地寻找能够证明为什么需要每个前提的例子来解释如何理解定理。我们将使用这个关于函数的定理(其符号解释如下)：

Rolle[roul]定理:

假设 f:[a,b] ⟶ ℝ 在[a,b] 上是连续的并在(a,b)上是可微的，且 f(a) = f(b) 。则 ∃ c∈(a,b) 使得 $f^{'}(c) = 0$ 。

所有定理都有一个或多个前提(premises)(我们假设的事情)和一个结论(conclusion)(如果前提成立则其就确定成立的事情)。在这个定理中，前提用单词“suppose”(译注：可译为“假如，假设，若，等等”)标识，在以上定理中，这些前提是：

• f 是在区间[a,b] 上定义的函数；

• f 在区间 [a,b] 上连续；

• f 在区间(a,b) 上可微；

• f (a) = f (b)。

前提相当多，下面将逐一详细讨论。

结论通过单词“then”标识(译注：可译为“则，那么，等等”)；在这个定理中，结论是存在 c∈[a,b] 使得 $f^{'}(c) = 0$ 。符号 $f^{'}$ 指的是f在 c点的导数为0(注：很多学生习惯于导数的 df/dx 记法，但是 $f^{'}$ 记法更简洁，在分析中更为常用)，这个定理告诉我们，在开区间(a,b)中存在一点c 具有这个属性(开区间(a,b)是包含介于a和b之间但不包括a或b 的所有实数的集合)。这个定理并没有告诉我们 c 的确切位置——在高等代数中，像这样的存在定理是相当普遍的。

与定义一样，我们可以考虑定理与例子的关系。在这种情况下，我们可以问该定理如何适用(或不适用于)特定函数。为了满足前提，需要在闭区间 [a,b] 上定义一个函数(符号 [a,b] 表示包含 a 和 b 以及其间每个数的集合)。所以我们需要确定一个函数以及 a 和 b 的值。例如，若我们取 $f (x) = x^{2 }$ 且a = -3 和 b = 3 ，则 f(a) = f(b)且f是连续的并处处可微，因此满足所有的前提。因此，结论成立：即 (a,b) 中存在一点 c 使得 $f^{'}(c) = 0$ 。在这个例子中，在c = 0 处的导数碰巧等于0 ，这显然在 -3 和 3 之间。

同样，你可以想出更多的例子。但我建议，在处理像这样的定理时，您不妨直接考虑一个通用图表。在这种情况下，这具有两种好处，因为它需要更仔细地考虑前提。要绘制通用图，一般可能是从绘制函数开始，但实际上从更简单的前提开始通常更容易。例如，在此我们可以从点 a和 b 使得f (a) = f (b)开始：

如果您只是画出在这种情况下自然出现的内容，您最终会得到一个图表，显示具有所需属性的函数——如下所示。标记可以帮助准确地指示图表的各个部分与定理的关系，因此我标记了适当的点 c 和一条指示 c 处的导数为零的短线。请注意，此图中 c 有两个可能的值，并且可以直接绘制具有更多值的函数。

该图是否使您相信该定理是正确的？你能明白为什么在给定前提的情况下，必然存在一个 c，在此处 $f^{'}(c) = 0$ 吗？如果您立即回答“是”，那很好，尽管您可能仍然需要了解连续性和可微性的技术含义。如果您因为不完全确定这些概念的含义而犹豫不决，那就更好了，您会欣赏下一节中的讨论。

不过，在我们继续之前有一点需要注意：在制作这样的草图时，不要被循环冲昏了头脑。下图没有显示函数，因为f (d) 没有唯一定义的值，例如(该图未通过垂直线测试，如果您听说过则忽略)。我知道学生画这样的东西，通常都是粗心的，他们通常是想画一些合适的东西。但是，同样，精确性在高等数学中很重要，所以一定要注意这类事情。

2.8 验证定理前提(Examining theorem premises)

Rolle[roul]定理提供了一种以更严格的方式理解数学分析概念的机会，通过询问为什么包含所有前提条件来学习深入理解定理。下面又是这个定理：

Rolle定理：

假设 f :[a,b] ⟶ ℝ 在[a,b] 上是连续的并在(a,b)上是可微的，且 f (a) = f (b) 。则 ∃ c∈(a,b) 使得 $f^{'}(c) = 0$ 。

一个前提是函数在区间 [a,b] 上连续。大多数人自然会想到连续函数，因为他们之前使用过的大多数函数都是连续的(如果不是到处都是，那么至少对于 x 的大多数值而言)。然而，本书会敦促你避免只考虑连续函数，因为连续性的假设有时是没有根据的——第 7、8 和 9 章包括以各种有趣的方式不连续的函数。此外，我们通常可以通过思考如果不包含某个前提会出现什么问题来深入了解为什么包含某个前提。考虑到Rolle定理，很容易构造一个具有 f (a) = f (b) 但在 [a,b] 上不连续的函数，并且结论不成立。例如，在此图中，不存在 $f^{'}(c) = 0$ 。

所以我们需要连续性前提——没有它，定理就不会成立。对于概念性的洞察，这个图可能已经足够了，但是像这样的函数可以使用公式来表达，并且最好在可能的情况下给出具体的示例。例如，像这样指定 a、b 和 f，给出像以上那样的图：

令 f :[1,4] ⟶ ℝ 为由

$\\\displaystyle f(x)=\left \{ \begin{array}{lrc}\displaystyle x+1 (if \: 1 \leq x \leq 2) \\ \\ \displaystyle \frac{x}{2}(if \: 2 < x \leq 4) \end{array} \right .$

给出的函数。这是个分段定义的函数——它在其域的不同部分有不同的定义。请注意，它仍然是从[1, 4] 到 ℝ 的完美函数，因为对于区间 [1, 4] 中的每个 x ，都有一个指定的 f (x) 值(有时学生认为这种情况是两个函数，这是错误的)。你认为图中的实心点和非实心点是什么意思？你能举出其他连续性前提不成立且结论再次失败的具体例子吗？

另一个前提是函数在区间 (a, b) 上可微。同样，大多数人自然会想到可微函数，因为他们之前使用过的大多数函数都是可微的。事实上，许多新分析的学生甚至没有意识到他们正在考虑可微函数，因为他们已经做了很多微分，但没有从理论上思考函数可微意味着什么。可微性将在第 8 章中正式讨论，但为了近似非正式的理解，你可能会认为它意味着函数的图形没有“尖角(sharp corners)”。考虑到这一点，如果连续性前提成立但可微性前提不成立，Rolle定理可能会出现什么问题？结论怎么会失败呢？

这是一个表明一个简单情况的图表：

这里 f (a) = f (b) 并且函数是连续的。但它在 x = d 处是不可微的，并且任何地方都不存在 f' (c) = 0 的点 c。我将在这里暂停，因为对于某些读者来说，这些事情的真实性可能并不明显。例如，有些学生不确定这样的函数在 d 处是否连续。他们看到“你不用把笔从纸上拿下来就可以画出来”，但他们犹豫了，因为他们习惯了连续函数的图形漂亮而弯曲，而不是尖的。事实上，这个函数是连续的，第7章会有更多关于此类问题的内容。

类似地，一些学生不确定 d 点导数的概念。同样，他们习惯于思考带有漂亮曲线图的函数的导数，有些人想知道这样的函数是否在“角”处有导数。这就触及了可微性的本质，即我们是否可以在一点上绘制一条合理的切线。在这种情况下，我们不能(它的梯度/斜率是多少? )(注：英国人使用“梯度(gradient)”这个词；美国人用“斜率(slope)”这个词来表达同样的意思)，这个问题将在第 8 章中详细探讨。同时，我请你相信我的话，并再次注意：可微性前提是必要的；没有它，结论可能不成立。

指定如图所示函数的一个公式是

令 f :[1,4] ⟶ ℝ 为由

$\displaystyle f(x)=\left \{ \begin{array}{lrc}\displaystyle x+1 (if \: 1 \leq x \leq 2) \\ \\ \displaystyle 4- \frac{x}{2}(if \: 2 < x \leq 4) \end{array} \right .$

给出的函数。

具有类似属性的一个更简单的例子是函数 f (x) = | x |,例如，定义于集合[–5, 5]上。事实上，f (x) = | x |是每个人最喜欢的函数示例，该函数(在 x = 0 点)连续但不可微。您可能会看到它是作为此类示例引入的，但您应该记住，当数学家给出这样一个简单的示例时，他们通常希望您将其视为一般类别的代表。他们告诉你 f (x) = | x |也许是有关它的某些主张的证明，但他们希望您将这种思想推广到具有类似属性的其他函数。

2.9 图表和通用性(Diagrams and generality)

精明的读者可能已经注意到，我忽略了图表的三个微妙之处。

首先，虽然我一直在谈论一些图表是通用的，但从技术意义上来说它们并不是。一旦我们将图表提交到纸上，我们就会看到一个特定的函数。然而，我认为大多数读者都会同意，有些图表在它们不应该让人想起公式的意义上可以被认为是通用的；它们不会像 $f(x) = x^{2}$ 或 $g(x) = \sin x$ 的图那样让我们因具体函数的知识而分心。

第二个微妙之处是图表可能无法代表“整个”函数。在区间上绘制函数通常很容易，但有限图无法完全表示在整个实数上定义的函数。这可能不会打扰您，而且在大多数情况下也不应该打扰您：您会习惯于想象以可预测的方式“永远持续下去”的图表。但请注意，由于任何具体的图表都是有限的(且具体的)，图表本身并不能证明太多。它们可能提供对构造证明有价值的见解，但数学家也在寻找基于定义的论证。

第三个微妙之处是，人们常常对绘图的某些方面有些粗心，因此他们可能会被代表(0, 0) 附近发生的情况的图形的局部属性所误导。例如，一些人倾向于绘制由 $f(x) = x^{2}$ 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 的图像，因此，它似乎有一个 U 形，如下图所示：

这是一种误导，因为它似乎有垂直渐近线。例如，对于 x = d， $x^{2}$ 的值会是什么？好像没有，这显然不合适。再说一遍，这有点挑剔，但你想绘制图表，以便数学家知道你已经意识到这些问题。

然而，即使小心翼翼地使图形看起来是抛物线形而不是 U 形，我们也可能会被其他因素误导。例如，沿着由 $g(x)=x^{3}$ 所给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 绘制的图像给出了像这样：

在此图中，x ≥ 0 时的图形形状看起来或多或少相似；看起来函数也以类似的方式发生变化。但是，当然，他们真的不知道。我们不必缩放太多，它们就开始看起来非常不同，如下所示：

如果你在绘制方面有点懒，这应该会让你停下来思考一下。它还应该让每个人以更细致的方式思考函数如何针对“大”值表现。

同样，将 f 和 g 的图像与由 $h(x)=2^{x}$ 给出的函数指数函数h：ℝ ⟶ ℝ 相比又怎么样呢？函数 h 在不同的位置穿过垂直轴，但除此之外，我们可能倾向于使它们看起来非常相似：

但是你知道 x 值越大会发生什么吗？指数函数变大的速度更快。这是一个缩小的视图，它给出了这些函数的相对行为的完全不同的感觉：

这引发的问题是分析的核心问题，在其中，我们研究的一件事是极限属性：当 x(或 n)趋于无穷大时，函数(或序列)会发生什么。图表对于培养对此类事物的直觉很有用，但您也应该改掉将计算机或计算器输出视为真理的最终仲裁者的习惯。在分析中，我们要求的不仅仅是这些，培养对正式理论的理解，以便我们能够真正证明我们的观察结果。

2.10 定理及其逆表述(Theorems and converses)

最后一节扩展了我之前关于定理结构的评述，并指出了相关条件语句之间的一些重要差异。条件语句是“if ... then...(若……测……) ”的声明，像这样：

若 f 是一个常量函数，则对于∀ x∈ ℝ ，都有 $f^{'}(x)=0$ 。

这是一个真(true)表述。下面是其逆：

若对于 ∀ x∈ ℝ 都有 f' (x) = 0 ，则 f 是一个常量函数。

这也是一个真表述。但这不是同一个表述。以下是一个同时体现两件事情的双条件表述(biconditional statement)：

对于函数f 而言，当且仅当对于 ∀ x∈ ℝ ， $f^{'}(x)=0$ ，则 f 是一个常量函数。

这也是一个真的表述，但它又是一个不同的表述。你可能喜欢思考短语“if and only if”并考虑这个双条件语句如何体现两个条件语句。此时有两个技术问题需要注意。首先，我们可以使用另一种表示法，将三个语句写成这样：

f 是一个常量函数 ⇒ 对于 ∀ x∈ ℝ ，有 $f^{'}(x)=0$ 。

对于 ∀ x∈ ℝ ，有 $f^{'}(x)=0 \Rightarrow f$ 是一个常量函数。

f 是一个常量函数 ⇔对于 ∀ x∈ ℝ ，有 $f^{'}(x)=0$ 。

符号 “⇒” 可大声读作“意味着”，而符号“⇔”读作“当且仅当”或“等价于”。这些是具体的、标准的含义——除非你确切指的是这些含义，否则不要使用这些箭头符号。

第二个技术问题是第一个条件语句实际上应该这样写：

对于每一个函数f ：ℝ ⟶ ℝ ，若 f 是一个常量函数，则对于 ∀ x∈ ℝ ，有 $f^{'}(x)=0$ 。

开头的新部分只是澄清了我们正在讨论某种特定类型的所有功能。也许你认为无论如何，大多数数学家也会这样做，所以像这样的额外短语经常被省略。但数学家将条件语句解释为就好像它们就在那里一样。

现在，在日常生活中，我们在使用条件语句时往往有点草率(sloppy)。我们并不总是将一个表述与其逆表述区分开来，并且我们经常将一个条件表述解释为一个双条件表述。(注：对于详细解释，请参见<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)。) 事实上，这种情况非常常见，以至于有大量心理学文献致力于人们对条件表达的日常解释(和使用条件表达进行推理)。

在数学中，我们并不马虎。当数学家写下条件语句时，他们的意思和写的一模一样。这非常重要，原因有二。首先，证明一个表述与证明其逆表述不同。

为了证明

若 f 是一个常量函数，则对于∀ x∈ ℝ ，都有 $f^{'}(x)=0$ 。

我们会假设 f 是一个常量函数，并据此推导出对于∀ x∈ ℝ ，都有 $f^{'}(x)=0$ 。为了证明

若对于 ∀ x∈ ℝ 都有 $f^{'}(x)=0$ ，则 f 是一个常量函数。

我们会假设对于 ∀ x∈ ℝ 都有 $f^{'}(x)=0$ ，并据此推导出 f 是一个常量函数。

这并不一定等于做同样的事情：在一个方向上起作用的证明不一定是可逆的。(注：有关简单的代数示例，请参见 <<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major) 第 8.3 节。) 在这个案例中，一个表述可以直接从导数的定义中证明，但另一个则需要更严肃的理论机制——详细信息请参见第 8.7 节。

第二个原因更为基本：有时条件语句为真，但其逆向则不然。例如，这是另一个条件语句：

若 f 在 c 点可微，则f 在 c 点连续。

这是成立的。以下是基逆表述：

若 f 在 c 点连续，则f 在 c 点可微。

这是不成立的。我们已经看到，函数 f (x) = | x | 在 0 点处是连续的，但是其在 0 点处却不可微，这意味着它构成了条件语句的反例，表明它并不普遍正确。顺便说一句，这解释了为什么人们最喜欢函数和其他数学对象的例子。有些例子对于记住关键定理和避免混淆定理及其逆表述特别有价值。这很方便，因为分析中充斥着具有错误逆表述的正确定理。这里有一些需要继续讨论的问题——每种情况下的逆向情况是什么？现在你是否已经足够了解为什么这个定理是正确的而其逆表述却不是？

定理：若 $(a_{n})\rightarrow \infty$ ，则 $(1/a_{n})\rightarrow 0$ 。

定理：若 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛，则 $(a_{n})\rightarrow 0$ 。

定理：若f 在[a，b]上连续，则f 在[a，b]上有界。

定理：若 f 和 g 在a处均可微，则 f + g 在a处也是可微的。

定理：若 f 有界且在[a，b]上递增，则 f 在[a，b]上可积。

定理：若 x,y ∈ ℚ ，则 xy ∈ ℚ (译注：ℚ 表示 rational number )。

其中一些定理出现在本书的后面。有些没有，但您可能会在分析课程中看到它们。您的课程中可能还有更多内容。每当你看到一个条件语句时，我建议你考虑一下它的逆面，并思考其中一个或两个都为真；这样做应该可以帮助您理解任何随附(accompanying)证明的结构。我还有更多关于理解证明的建议，您可以在下一章中找到。

3. 证明(Proofs)

本章讨论数学中证明的含义以及证明在数学理论中的地位。它讨论了理论和证明的构建方式以及教授它们的方式。它还提供自我解释训练，研究表明这可以提高学生的证明理解力。

3.1 证明和数学理论(Proof and mathematical theories)

本科生常常认为证明很神秘。他们真的不是。某个具体的证明可能由于其逻辑复杂性而难以理解，或者因为学生对相关概念的定义没有足够的把握。但这个思想一点也不困难：证明只不过是使某件本身是真的事令人信服的论证。我认为，之所以出现明显的谜团，是因为像分析这样的学科中的证明必须符合数学理论，因此，除了令人信服之外，它们还必须根据适当的定义和定理进行构建。本书的第 2 部分介绍了与分析中的关键概念相关的具体定义和定理，介绍了如何确定它们在证明中的使用位置，以及如何使用它们来构建您自己的证明。在本章中，我将讨论理解讲座或教科书中提出的证明的一般策略——每当您在分析中遇到证明时都可以(并且应该)应用这些策略。不过，首先我将简要解释证明如何融入数学理论。

需要注意的一件事是理论(theory)与定理(theorem)不同。正如第 2 章所讨论的，定理是关于某些数学概念之间关系的单个陈述。数学理论是相互关联的公理(axioms)、定义、定理和证明的网络。这个网络可能非常庞大。我目前的分析课程包含 16 个公理、32 个定义和 60 个定理以及随附的证明。这并不像听起来那么可怕，因为其中许多都非常简单。但这只是可能被视为“整个”分析理论的一小部分。正如您可能想象的那样，理论可能非常复杂。但它们有一些功能使它们更容易理解，并且知道要寻找什么应该可以帮助您了解证明的用途以及它们的工作原理。

3.2 数学理论的结构(Proof and mathematical theories)

数学理论是随着时间的推移而发展的，而且这种发展不是线性的。数学家试图解决问题并说明和证明定理，为此他们制定公理和定义来体现他们希望使用的概念。但数学家也重视理论建设——他们希望一切都适合一个连贯的整体结构，这意味着当数学家群体就体现个体概念和重要逻辑关系的有效方法达成一致时，公理、定义、定理和证明就会进行调整。

作为一名学生，你也可能会解决问题。但除非你参加一门不寻常的分析课程，否则你不会经常参与定义和定理的制定。相反，你的工作将是学习当代数学界所理解的既定分析理论。数学定义和公理构成了理论构建块的底层，这意味着您可以在这种意义上将数学定义和公理视为“基础(basic)”。(注: 有关公理的简要介绍，请参阅第 2.2 节，有关实数公理的更详细讨论，请参阅第 10 章。)

底层就位后，更高级别的新模块采用定理的形式，其中每个定理都说明了先前级别的概念之间的关系。在分析课程的初始阶段，定理可能只是关于一个概念。例如，他们会说，适用于对象 x 和 y 的属性也适用于通过组合 x 和 y 创建的对象；例如，如果它们是数、函数或序列，则将它们相加；如果它们是集合，则取它们的并集。这里有一些类似的定理(注：本书开头第 xiii 页的符号部分有一个符号列表)：

定理：若 x ,y ∈ℚ ，则 xy ∈ℚ 。

定理：若 f : ℝ ⟶ ℝ 和 g: ℝ ⟶ ℝ 均在 a 处可微。则 f + g 在 a 点可微，且

$(f+g)^{'}(a) = f^{'}(a) + f^{'}(b)$ 。

定理：若 X ,Y ⊆ ℝ 均有上界，则 X∪Y ⊆ ℝ 具有上界。

证明这样一个定理只需要一个定义。例如，第三个定理指的是，如果 ℝ 的两个子集 X 和 Y 均有上界，则它们的并集( X 或 Y 或两者中的所有元素的集合)也存在上界。为了证明这一点，我们会这样做：

假设 X ,Y ⊆ ℝ 均有上界。

根据上界有界的定义说出这指的是什么。

用代数运算和逻辑推理构造一个论证，证明X∪Y 也满足上界定义的论证。

推导出 X∪Y 有界。

因为我在 2.6 节中介绍了上面有界的定义，所以我将在这里展示如何填写细节。第 3.5 节提供了阅读和理解证明的指导；你可能想看看你现在对这个证明的理解怎么样，然后再回到指导部分。

定理：若 X ,Y ⊆ ℝ 均有上界，则 X∪Y ⊆ ℝ 具有上界。

证明：

存在 $M_{1}\in \mathbb{R}$ ，使得对于∀ x∈X ，都有 $x \leq M_{1}$ ，以及 $M_{2}\in \mathbb{R}$ ，使得对于∀ y∈Y ，都有 $y \leq M_{2}$ 。

现在考虑 $M = \max \{ M_{1},M_{2} \}$ 。则对 ∀ x∈X ，有 $x \leq M_{1} \leq M$ 和 ∀ y∈Y ，有 $y \leq M_{2} \leq M$ 。

因此，X∪Y 中的每一个元素都小于或等于 M 。因此，X∪Y 有上界。

我们可以将这样的定理视为向仅位于一个定义之上的理论添加一个新块，或者视为可能使用一个定义和一个公理(可能是关于加法或不等式的公理)。

后面的定理将涉及多个概念。例如，他们会说，具有一种属性的对象也必须具有另一种属性，或者具有多种属性组合的对象也必须具有另一种属性。这里有一些类似的定理：

定理：令 $(a_{n})$ 为一个收敛序列，则 $(a_{n})$ 有界。

定理：假设 f : [a，b] ⟶ ℝ 在 [a，b]上连续并在(a，b)上可微，且 f (a) = f (b) 。则 ∃ c∈ ℝ ，使得 $f^{'}(c)=0$ 。

定理：若f 有界且在上 [a，b]递增，则 f 在[a，b]上可积。

证明这样的定理将使用所有相关的定义。例如，为了证明每个收敛序列都是有界的，我们可以这样做：

假设序列 $(a_{n})$ 收敛。

根据收敛的定义说明这指的是什么。

用代数运算和逻辑推理构造一个论证，证明 $(a_{n})$ 也满足有界的定义。

推导出 $(a_{n})$ 有界。

这次我们还没有填写细节的机制，但我将在 5.9 节中回到这个定理。然而，由于其结构，我们可以将这样的定理视为向理论添加一个新块，如下所示，其中箭头再次表明证明中使用的内容：

这是否意味着所有证明都直接使用定义？不，因为一旦我们证明了一个定理，它就一直被证明。这意味着我们可以使用已建立的定理来证明新的定理，因此我们的理论将像这样建立起来：

3.3 如何教授分析(How Analysis is taught)

尽管理论的结构如上所述，但首先教授所有定义和公理，然后教授第一“层”定理，依此类推，会有点奇怪和脱节。如果我们这样做，大多数学生在使用第一个定义时就会忘记它。因此，讲师通常首先介绍几个关键定义，然后立即陈述并证明一些仅需要这些定义的定理。然后，他们引入另一个定义，并结合现有材料建立更多定理，等等。以这种方式思考理论发展应该有助于您理解分析的结构。

然而，为了理解分析课程，您还需要了解这个理论如何与早期数学相吻合。大多数新分析专业的学生已经了解很多微积分：他们了解函数以及如何对它们进行微分和积分，并且他们可能还了解一些有关序列和级数的知识。许多人预计分析将从他们所知道的开始并向上进行；他们将学习更奇特、更复杂的整合和微分技术以及处理序列和级数的技术。事实上，事实并非如此。分析并不是从微积分向上构建的——它位于微积分的下层。在分析中，我们探索微积分的基础理论，分解我们的假设并理解它为何有效。其他课程确实是向上构建的：数学学生可能会学习如何求解微分方程，以及超过一个变量的函数或复变量函数的微分或积分。但总体而言，分析是从微积分向下构建的，而不是向上构建的。

然而，分析不一定从您所知道的开始，然后逐层构建。这可能具有心理学意义，并且可能更能反映该主题的历史发展，但很难将其转化为逻辑表述。因为理论是建立在基本公理和定义之上的——因为证明使用了这些公理和定义——所以从底层开始并以你已经知道的东西为基础进行构建更具有逻辑意义。所以你的数学老师可能会这样做，如果是这样，你可能会觉得这种经历有点奇怪。分析看起来与你刚刚学习的内容相去甚远，而且一些早期的工作看起来非常基础。但这就是重点：高等数学的理论应该从基础事物开始，建立一个连贯的理论。

也就是说，从最底层开始确实会让学生感到迷失方向。因此，当我教授分析时，我倾向于采用一种混合的方式，从定义开始并详细研究它们，但我一开始并没有提到公理。相反，我只是继续使用我认为学生会认为理所当然的公理(我是对的，我从来没有人抱怨我们没有具体说明 ∀a ，b ∈ ℝ, a + b = b + a )。然后，一旦班级在定义的基础上证明了一些事情，我们可能会再向下迈出一步，检查更基本的公理假设。到那时，学生往往已经做好了更充分的准备，因为他们能够认识到在结果网络中进行系统推理的重要性。当然，你的数学老师可能会做一些不同的事情。

3.4 学习证明(Studying proofs)

前面的部分应该阐明定义、定理和证明在数学理论中的作用。然而，在一页上，定义和定理很小——通常是一行或两行——而证明则更大——可能是五行，或者十行或十五行。结果，证明往往更引人注目，也显得更重要，学生们经常谈论证明，就好像它们是独立存在的一样。但证明始终是对某事物的证明，并且该事物将被表述为定理(尽管它可能被称为命题(proposition)、引理(lemma)或断言(claim))。那么，毫不奇怪，如果你不理解这个定理，你就不会理解它所伴随的证明；如果你不知道证明的作者试图证明什么，你怎么知道他们什么时候让你相信他们已经做到了？

因此，不要将证明视为一个孤立的实体，而应将其视为属于一个定理，并确保您首先理解该定理所说的内容。这通常涉及两个层面的思考，第一个层面是直觉层面，第二个层面是形式层面。例如，如果一个定理说每个收敛序列都是有界的，您可能会发现您对这意味着什么有直接的直觉。尽管如此，建议停下来适当思考一下它与收敛和有界的正式定义相关的含义：这些是技术概念，定理是关于这些技术概念的，而不是关于你重叠但可能有点模糊的直觉理解。有关如何执行此操作的更多信息，请参阅第 2.7 节和第 2.8 节。

一旦你理解了定理的内容，你就可以研究证明了。但你应该怎么做呢？你怎么知道某事何时被证明？对于许多本科生来说，显而易见的答案是，当你的数学老师或教科书说某件事已被证明时，你就知道它已被证明。显然，你没有理由怀疑所提供的证据：基于权威人士告诉你某件事是有效的，你相信某件事是完全合理的。然而，这在智力上并不是很令人满意——详细地理解某件事比仅仅相信它要好得多。数学教育研究的好消息是，学生通常似乎拥有足够的知识和逻辑推理能力，可以很好地理解本科证明；坏消息是他们中的许多人不能很好地运用他们的知识。然而，一旦他们接受了一些简单的自我解释训练(self-explanation training)，他们就可以做得更好。数学特定的自我解释训练将出现在下一节中。

3.5 数学中的自我解释(Self-explanation in mathematics)

在我的大学，我们在多项研究中使用了自我解释训练，并取得了积极的成果。训练在 <http://setmath.lboro.ac.uk> 上获得(译注：该网址已经打不开)，并且按照研究中使用的内容复制如下 - 我添加了两个脚注来链接到本书其他地方的想法，但除此之外，我还没有添加除了格式之外没有改变任何东西。正因为如此，本节的风格和内容都有点不同——风格更少会话性，更多指导性，内容更笼统——它涉及数论和分析的概念。

3.5.1 如何自我解释(How to Self-explanation)

为了提高您对证明的理解，您应该应用一系列技术。

读完每一行后,你应该：

• 尝试识别并阐述证明中的主要思想。

• 尝试用之前的思想来解释每一行。这些可能是来自证明中信息的思想、来自先前定理/证明的思想，或者来自您自己对该主题领域的先验知识的思想。

• 如果新信息与您当前的理解相矛盾，请考虑可能出现的任何问题。

在进行下一行证明之前，您应该问自己以下问题：

• 我理解这句话中使用的思想吗？

• 我理解为什么使用这些思想吗？

• 这些思想如何与证明中的其他思想、其他定理或我可能拥有的先验知识相联系？

• 我所做的自我解释是否有助于回答我提出的问题？

下面您将找到一个示例，显示学生在尝试理解证明时可能生成的自我解释(证明中的标签“(L1)”等表示行号)。请仔细阅读示例，以了解如何在自己的学习中使用此策略。

3.5.2 例说自我解释(Example self-explanation)

定理：没有奇数可以表示为三个偶数之和。

证明：

(L1) 假设，与此相反，存在一个奇数 x ，使得 x = a + b + c ，其中，a，b，c 是偶整数。

(L2) 则对于某些整数 k, l 和p ，有 a = 2k , b = 2l , c = 2p 。

(L3) 因此 x = a + b + p = 2k + 2l + 2p = 2(k + l + p)。

(L4) 由此可推断出 x 是偶数，这与假设矛盾。

(L5) 因此，没有奇数可以表示为三个偶数之和。

读完这个证明后，一位读者做了以下自我解释：

• “证明使用了反证法(注：反证法与其他类型的证明一起在<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)第 6 章中进行了讨论)”。

• “由于a、b和c是偶数，我们必须使用L2中使用的偶数的定义。”

• “然后证明将 a、b 和 c 替换为 x 公式中各自的定义。”

• ‘然后 x 的公式被简化并且被证明也满足偶数的定义；这与假设相矛盾。’

• “因此，没有奇数可以表示为三个偶数之和。”

3.5.3 自我解释对比其它评述(Self-explanations compared with other comments)

您还必须意识到，自我解释策略与监控(monitoring)或释义(paraphrasing)不同。这两种方法不会像自我解释那样对你的学习有帮助。

(1) 释义(Paraphrasing)

“a、b 和 c 必须是正数或负数，偶整数(whole numbers)。”

该声明中没有自我解释。没有添加或关联任何附加信息。读者仅仅使用不同的词来描述文本中已经用“偶整数(even integers)”一词表示的内容。在您自己的证明理解过程中，您应该避免使用此类释义(注：我不想这与第一章中有关大声阅读数学的建议相矛盾。您可能需要先阅读页面上的字面意思，但随后您应该超越它并进行自我解释)。释义不会像自我解释那样提高你对文本的理解。

(2) 监控(Monitoring)

“好吧，我理解 2(k + l + p)是一个偶整数。”

这句话只是简单地展示了读者的思考过程。它与自我解释不同，因为学生没有将句子与文本中的附加信息或先验知识联系起来。请专注于自我解释而不是监视。

同一句话的可能的自我解释是：

“好吧，2(k + l + p)是偶数，因为 3 个整数的和是一个整数，2 乘以一个整数是一个偶数。”

在这个例子中，读者识别并阐述了文本中的主要思想。他们使用已经提供的信息来理解证明的逻辑。

这是您在阅读完证明的每一行后应该采取的方法，以提高您对材料的理解。

实践证明1(practice proof 1)

现在阅读这个简短的定理和证明，并根据前几页的建议在脑海中或在纸上做笔记来自我解释每一行。

定理：不存在最小正实数。

证明：

假设，与此相反，存在一个最小正实数。

因此，根据假设，存在一个正实数 r，使得对于每一个正实数s，都有 0 < r < s 。

考虑 m = r/2 ,显然 0 < m < r 。这是矛盾的，因为 m是一个比 r 更小的正实数。因此，不存在最小正实数。

实践证明2(practice proof 2)

这是另一个更复杂的实践证明。这次也给出了定义。请记住：在读完每一行后，无论是在脑海中还是写在纸上，都要进行自我解释训练。

定义：盈数(An abundant number)是指除数之和大于 2n 的正整数 n。

例如，12是一个盈数，因为 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 > 24 。

定理：两个不同素数之积不是盈数。

证明：

令 $n = p_{1} p_{2}$ ，其中 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 是不同的素数。

假设 $2 \leq p_{1}$ 和 $3 \leq p_{2}$ 。

n 的除数是 1， $p_{1}$ ， $p_{2}$ 和 $p_{1}p_{2}$ 。

注意， $\frac{p_{1}+1}{p_{1}-1}$ 是 $p_{1}$ 的递降函数。因此， $\max\{\frac{p_{1}+1}{p_{1}-1}\}=\frac{2+1}{2-1}=3$ 。

因此， $\frac{p_{1}+1}{p_{1}-1} \leq p_{2}$ 。

$p_{1} + 1 \leq p_{1} p_{2} - p_{2}$

$p_{1} + p_{2} + 1 \leq p_{1} p_{2 }$

$1 + p_{1} + p_{2} + p_{1} p_{2} \leq 2p_{1} p_{2}$

谨记：

事实证明，使用自我解释策略可以大大提高学生对数学证明的理解。每次在讲座、笔记或书中阅读证明时尝试使用它。

自我解释训练到此结束(注：数学学生自我解释训练根据 Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License 获得许可。要查看此许可证的副本，请访问 <http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/> 或发送信件至知识共享，444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA)。有些读者现在可能想将其应用于 3.2 节中的证明。

3.6 关于证明(Proofs and proving)

本章是关于研究课堂笔记或书籍中出现的证明。作为一名本科生，你的许多活动都将涉及理解这些来源的证明。但这并不意味着数学已经固定和完成。相反，它是一个不断发展的主题。碰巧，数学界现在所理解的分析(大部分)是在 19 世纪发展起来的，所以很长一段时间以来，没有人对它的细节有不同意见，而现代教科书都以基本相同的方式体现中心思想。因此，您将了解分析作为使用标准证明建立的结果网络。但这并不意味着证明是唯一的：单个定理可能有许多可能的证明，每个证明都使用不同但有效的推理。这并不意味着数学没有创造力的空间。如今，世界各地数千所大学正在构建、比较和辩论当前数学边界的思想。当然，任何在既定领域学习的学生仍然有很多机会独立解决问题和发展新的知识。

4. 数学分析学习法(Learning Analysis)

本章解释了学习分析的感受。它提供了有关如何跟上进度(keep up)、如何避免浪费时间以及如何充分利用学习资源的建议。

4.1 教学分析之经验谈(The Analysis experience)

这是我教授分析时发生的情况。在第一周，每个人心情都很好，因为他们正在开始学习新的东西，内心充满美好的期待。在第 2 周和第 3 周，他们将会积累越来越有挑战性的材料。第四周，演讲厅里的气氛很糟糕。全班同学都意识到这是一件困难的事情，而且不会变得更容易。每个人都讨厌分析，推而广之，很多人开始讨厌我。不过，我并不为此感到困扰，因为我已经教过分析大约二十次了，我知道接下来会发生什么。在第五周，每个人都会感觉稍微好一点，即使没有人能完全解释原因。在第七周，一小部分人会接近我并害羞地告诉我，尽管分析具有挑战性，但他们开始认为他们可能会喜欢它。在课程结束时，这些人会告诉任何愿意听的人，分析非常出色，许多其他学生会承认，现在他们已经掌握了它的窍门，他们可以明白为什么人们认为这是一门伟大的学科。

那么，对于新生来讲，问题是当工作变得困难并且你开始感到消极时如何处理。一些学生将消极情绪转向内心：他们失去信心，经历自我怀疑他们的数学能力(“也许我不够好？” )，有时会变得孤僻。其他人则把它转向外部因素，表达对他们的老师的沮丧和愤怒(“他是一个糟糕的老师！”)，有时，他们会有点荒谬地表达对数学本身的不满和愤怒(“我不知道他们为什么教我们这些垃圾——“这不是数学！”)。当人们感到失去控制并因此采取防御措施时，这些反应就会自然出现。但两者都不是很有成效。那么替代方案是什么？

嗯，大多数人在第一次学习分析时确实会遇到一些困难。这只是生活的一个事实。因此，在我看来，诀窍就是将其视为学习经历的正常组成部分，并安然度过。如果您准备好迎接一些挑战，您会更好地处理情绪——不要隐藏或表现出情绪——你可以对自己说“好吧，好吧，我早就料到了这一点”，然后继续以明智的方式学习，知道事情会逐渐走到一起。本章讨论的是实现这一目标的实用方法。

4.2 跟上进度(Keep up)

在分析中，就像在任何本科数学课程中一样，最大的挑战是坚持。如果你正在学习一门不错的(decent)课程，那么这门课程一定会很困难。没有人试图教你一些你会觉得容易的东西——那有什么意义呢？此外，你还会忙于其他课程和你的生活安排。所以你不太可能一直掌控一切。你应该尽量不要为此感到苦恼，因为苦恼没有任何帮助——负面情绪只会阻碍有效的学习。你要做的事情是接受你并不总是对所有事情都有完美的了解，并以明智的方式工作，让你对重要的事情保持足够的了解。

当我说足够的知识时，我的意思是让你有机会理解新材料的足够的知识。当你学习课程几周后，你不可能理解每节课的所有内容——我当然没有。但你希望自己掌握足够的知识，以便能够跟踪理论发展的大范围并了解一些细节。当我说重要的事情时，我指的是一次又一次出现的中心概念。在任何给定时间，您不太可能能够解释每个证明的细微差别，但您想知道主要定义和定理，以便您可以识别它们何时以及如何在新工作中使用。考虑到这一点，这就是我要优先考虑的事情。

当我说足够的知识时，我的意思是足够的知识让你有机会理解新材料。当你学习课程几周后，你不可能理解每节课的所有内容——我当然没有。但你希望自己掌握足够的知识，以便能够跟踪理论发展的大范围并了解一些细节。当我说重要的事情时，我指的是一次又一次出现的中心概念。在任何给定时间，您不太可能能够解释每个证明的细微差别，但您想知道主要定义和定理，以便您可以识别它们何时以及如何在新工作中使用。考虑到这一点，这就是我要优先考虑的事情。

首先，你绝对必须知道你的定义。在分析中，有时很容易对此松懈，因为使用的许多词语(“递增”、“收敛”、“极限”等)都具有日常含义，而且因为分析中的概念通常可以使用图表来表示。这两件事都会诱使你认为直觉理解就足够了，事实并非如此。定义是高等数学任何理论的核心：正如第 2 章和第 3 章所解释的那样，它们是理解定理真正含义以及许多证明中发生的情况的关键。如果你认为你在不正确了解定义的情况下就理解了这个主题，那你就是在自欺欺人。因此，我会在课程的第一天开始列出定义。将其放在文件夹前面的一张纸上(即使您将大部分笔记保存在电子设备上，我仍然会使用纸张笔记)。每次遇到新定义时，请将其添加到列表中。定期研究这个列表，也许定期测试一下自己，并在讲座中警惕定义的单词——每次老师使用一个单词时，他们的意思都与定义所体现的含义完全相同。

其次，熟悉主要定理是个好主意。这些体现了概念之间的关系，因此即使您不完全理解证明，了解它们所说的内容也会让您对课程有一个概述。第 2.7 节和第 2.8 节给出了关于彻底思考定理含义的建议——花几分钟遵循这个建议可能会在你的脑海中确定一个新的定理。此外，现在有时会提前提供整个课程或其中某些部分的笔记(如果您的课程遵循教科书，您将提前获得全部内容)。因此，通过预习，您可以了解即将出现的定理。一旦课程开讲，我也会考虑保留一个定理列表。事实上，我会超越列出清单并构建概念图(有时称为思维导图或蜘蛛图)。由于理论的构建方式，使用图表来表明哪些定理(和定义)用于证明哪些其他定理通常是有意义的，如第 3.2 节中所讨论的。您可以制作一个如下所示的概念图，将框中的单词替换为课程中特定定义和定理的名称或缩写：

这些是我会优先考虑的事情。如果你发现自己落后了或者时间不够，请在做其他事情之前先做这些。不要试图回到你上次理解所有内容的地方，然后从那里继续前进——这样做是没有效果的，因为课程会比你进行得更快，你最终会陷入什么都不懂的讲座中。分析是分层的，因此对于不跟上主要构建模块的学生是不可原谅的。按照此处建议的优先顺序通常会让您对重要的事情有足够的了解；它将使您能够识别新讲座中的关键概念和关系，并为您提供更详细的学习框架，如下所述。

4.3 避免做无用功(Avoiding time-wasting)

因为跟上进度是具有挑战性的，所以您不想浪费任何时间。 因此，值得考虑的是您有多少学习时间以及您将如何利用它。(注：<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)的第 11 章讨论了数学学生的大规模时间管理；本章讨论分析课程的具体学习策略。) 在这样的体系下，我认为每周再花三到四个小时进行自主学习是合理的。如果你对所有科目都这样做，你可能会得出每周 40 小时的标准工作时间，这差不多是正确的(如果你按不同的系统学习，你可以阅读下面的建议，并找出如何调整以适合你的情况)。

现在，三到四个小时并不算多。你可以告诉自己，如果你愿意的话，你会做更多的事情，但大多数人不会，所以让三到四个小时变得有意义可能更重要。在那段时间里，你将有两件事要做：学习你的讲义(或你的教科书)，并解决问题。我按照这个顺序排列任务是有原因的。为了有效地解决问题，您需要熟悉笔记中的材料。如果你这样做了，你会发现很多问题让你想“啊，我们周三做了一些与此相关的事情。”如果你没有，你会浪费很多时间，不知道如何开始并凝视太空。所以，一定要做笔记。

我建议花60到90分钟认真研究并思考你最近的笔记。仔细阅读所有内容，遵循第 2 章和第 3 章中的定义、定理和证明的学习建议，并在阅读过程中更新你的定义和定理列表。以良好的自我解释为目标(参见第 3.5 节)，但不要沉迷于任何事情。60到90分钟并不算长，而且你至少要对所有内容有一定程度的熟悉。因此，如果您花了几分钟正确思考某件事，但仍然没有真正理解它，请拿出一张纸，在顶部写下“有关分析的问题”，并记下该事物的位置，你到底不明白什么。要精确——有时明确问题可以让你解决问题，如果不能解决问题，你会有一个具体的注释以便以后可以再回来思考，这样你就不会失去已经完成的思考。

研究完笔记后，就开始解决问题。根据您如何分配时间，您将有两到三个小时的时间来完成此任务。这不会给你太多的时间来解决任何已知的问题，所以你不想浪费任何时间。因此，我建议您在第一遍中每个问题上花费大约10分钟。有些问题你将能够在这段时间完成，特别是如果它们涉及例行的热身练习或直接应用你刚刚学习的思想。(在这种情况下，看看你可以在不看笔记的情况下做多少事情——这可能会花费稍长的时间，但如果你可以自己构造或重建一些东西，从长远来看你会更好地记住它。) 其他你不会的问题10分钟内就能完成。如果你取得了良好的进展，你可能想再坚持一段时间。另一方面，如果您陷入困境，并且已经尝试了一些明智的方法来摆脱困境，请在“分析问题”表上记下并继续前进——其他问题仍在等待。

现在，我说“第一次”，因为我认为分析中的问题解决应该是一个多次任务。你想尝试一下，然后休息一两天，然后再尝试一次。有时，神奇的事情会在休息时发生——你的大脑会建立新的连接，你会看到新的前进方式。因此，您可能希望将您的研究至少分成几个部分。事实上，无论如何你都应该这样做，因为深思熟虑的学习需要智力上的努力——如果你决定连续花4个小时学习分析，我保证你会浪费最后两个小时，因为你会耗尽精力。

4.4 努力削疑(Getting your questions answered)

接下来，如何处理“分析问题”列表？首先，请密切关注它。有时，解决问题会让你以不同的方式理解一种思想，你将能够划掉你在研究笔记时添加的内容。有时，当你休息几天后，再次快速重读你的笔记时会让你产生一些灵感，你将能够完成一个问题并把它划掉。之后，这就是我要做的。

首先，与一两个朋友聚在一起，系统地处理各自的清单。每个人的想法都有点不同，所以你们可能能够填补彼此的一些空白。这样做也会迫使你谈论分析，帮助你流利地谈论概念并解释你的论点。流利程度很重要，所以如果你一开始就说错了，不要担心。再试一次——通过练习你只会变得更加自信。分享想法也将帮助你成为一名优秀的数学倾听者。密切注意你的朋友所说的话，如果你不确定自己是否理解，请说出来，并尝试指出是什么让你感到困惑。这样做将帮助你的朋友更清楚地表达他们的想法。再次强调，这是一项宝贵的技能，可以帮助大家更自信地与老师和其他导师交谈。当然，就像在个人工作中一样，不要着迷——如果你不能在合理的时间内解决你们之间的问题，也许你的精力花在其他地方会更好。

一旦您与朋友分享了您的知识，请将剩余的问题交给专家(当然，您始终可以先去找专家，但请考虑上述有关培养沟通技巧的问题)。您想要哪位专家取决于您所在机构的教学系统：也许是您的导师，也许是您的课程老师，也许是数学支持服务。无论您见到谁，请带上您的清单、问题表以及所有相关笔记，并确保您的清单上有页码、章节编号或问题编号——您希望能够轻松找到所有内容。如果见某人需要安排一次特定的会面，请考虑询问您和您的朋友是否可以一起去——这应该会使整个过程更加高效。即使你的清单很长，也不要羞于提出问题。相信我，学生从精心组织的列表中提出具体问题总是令人印象深刻。

采用这种方法应该意味着您的大多数问题在大多数情况下都会得到解答。但是，一定要现实一点。遵循这个建议仍然会给你留下差距。有时没有时间把所有事情都解决掉。有时会有时间把所有事情都理清，但两周后你会意识到你现在已经忘记了为什么某些事情有效，你需要重新考虑一下。通过做适当的笔记应该可以最大限度地减少这个问题——当你克服了对某件事的困惑时，记录你如何改变你的想法将有助于快速回顾。总体而言，如果您按照本章建议的水平组织自己，您将跟上主要思想，您将至少理解每个新讲座的一些内容，并且当你开始准备考试时，您将能够基于此基础构建坚实的知识块。

4.5 调整策略(Adjusting your strategy)

在本章中，我建议了一种组织学习的具体方法。应该说，我并不真的期望任何人都这样做。您将受到有关何时可以学习、个人工作习惯偏好以及学术工作和社交生活其他方面不断变化的要求的限制。因此，你应该偶尔反思一下事情的进展情况，并做好调整的准备。如果你需要更长的时间来学习笔记，请调整你的时间；如果你需要时间学习另一门科目的考试，可以减少一周的分析基础知识；如果你的一位朋友非常适合社交活动，但不太擅长专注于分析，那么请悄悄地为与他人的讨论做出替代或额外的安排。当然，如果你真的遇到了一个问题，如果你愿意的话，可以凝视太空并思考几个小时。这里的建议应该被认为是一个有用的起点，也是一种养成习惯的方法，让你能够度过充满挑战的几周。

内容来源：

<<how to think about analysis>> lara alcock ，Mathematics Education Centre, Loughborough University，Oxford University Press。