知识点得逻辑关系如下
引言
非线性问题由于复杂的数学结构，多样的解空间，局部极值等问题求解难度大大增加。所以在求解时需要把非线性问题转化为更容易处理的形式，例如
- 数值优化方法：数值优化方法包括梯度下降、共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。这些方法可以用于求解非线性优化问题，例如最小化损失函数、拟合非线性模型等。
- 迭代法：迭代法通过不断迭代更新来逼近非线性问题的解。例如，迭代法可以用于求解非线性方程组、求解微分方程的数值解等。
- 泰勒展开法：泰勒展开法是一种将非线性函数近似为多项式的方法，通过保留函数在某一点的一阶、二阶甚至更高阶导数来实现。这种方法常用于局部近似和线性化处理。
- 李群与李代数方法：对于具有连续对称性的对象的变换问题，李群与李代数方法提供了一种有效的工具。例如，在机器人路径规划、SLAM（同时定位与地图构建）等问题中，李群与李代数方法常用于处理非线性变换。
- 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，数值模拟方法可以通过数值仿真来模拟系统的行为，并分析系统的稳定性和性能。
- 符号计算方法：符号计算方法利用计算机代数系统进行符号计算，可以对非线性方程组进行求解、符号推导等操作。
- 统计方法：统计方法包括贝叶斯推断、蒙特卡洛方法等，用于估计非线性模型的参数、进行概率推断等。
- 机器学习方法：机器学习方法可以用于建立非线性模型，并通过训练数据来学习模型的参数和结构，例如神经网络、支持向量机、随机森林等。
早期的SLAM问题被看为统计学问题，使用粒子滤波进行求解（Gmapping），但会存在粒子数目选择困难、样本退化、对传感器噪声敏感等问题。
SLAM是非线性估计问题，将其转化为线性问题可以大大降低求解难度。但旋转矩阵是一种特殊的结构，旋转矩阵的乘积是一个典型的非线性变换，它涉及到角度的叠加，而角度的叠加是非线性的。虽然泰勒展开可以用来近似非线性函数，由于角度叠加的非线性特性和截断误差的影响，泰勒展开并不是一个很好的选择。
旋转矩阵不符合加法特性，两个旋转矩阵相加不再是旋转矩阵，这意味着不能对旋转矩阵求导，求导的本质是衡量函数在给定点处的变化率，不能加法运算就不利于求导。旋转矩阵位于流形空间，流形空间中的每个点都对应一个局部线性空间，所以需要找到旋转矩阵对应的线性表达，这就涉及到了李群李代数的转换。
一、为啥用四元数
位姿的表达
SLAM的一个目标是求解位姿，而位姿是由平移和旋转构成，变换矩阵构成如下
- 旋转矩阵（Rotation Matrix）：3x3的旋转矩阵表示物体的旋转姿态。它描述了相机或机器人在空间中的方向变化。
- 平移向量（Translation Vector）：3维向量表示物体从一个位置平移到另一个位置的平移量。它描述了相机或机器人在空间中的位置变化。
其中，R11到R33是3x3的旋转矩阵，描述了物体的旋转姿态；T1到T3是平移向量，描述了物体的位置变化。最后一行是[0 0 0 1]，用于保持齐次坐标的一致性。
这时你会觉得，位姿这不很好被表达了，为什么要引入什么四元数、李群等等一大堆东西。我们需要注意一点就是表达和优化计算的区别，可以看到变换矩阵用9个变量表达旋转，在优化计算过程中是十分复杂的。因此需要一种简单的表达旋转的方法，我们会想到欧拉角。
欧拉角( Euler Angles)将旋转分解为三个方向上的转动例，按Z-Y-X顺序转动轴可以是定轴或动轴，顺序亦可不同常见的有 : yaw-pitch-roll，这样表达旋转参数量大大减少。然而，欧拉角存在着一些奇异性，这些奇异性可能导致旋转表示的不唯一性和不连续性。
1.万向锁（Gimbal Lock）： 当俯仰角（pitch）接近 ±90 度时，会出现万向锁的情况。在这种情况下，两个旋转轴会趋向于重合，导致旋转系统丧失了一个自由度。这样一来，物体的旋转将变得不稳定，且不再具有唯一性。
2.奇异点（Singularities）： 欧拉角存在一些奇异点，即某些特定的姿态下，无法唯一地确定欧拉角的值。这些奇异点通常出现在欧拉角的转换公式中，导致计算过程中的不连续性和不确定性。
3.旋转顺序的影响： 欧拉角的表示方式取决于旋转的顺序，不同的旋转顺序可能导致不同的结果。这种依赖旋转顺序的性质使得欧拉角的表示方式并不唯一。
4.理论上可以证明，用3个实数来描述旋转问题都会出现奇异性问题，因为这个问题，欧拉角不适用与插值或者迭代。
四元数
旋转矩阵用9个量描述3自由度旋转具有冗余性，欧拉角虽然紧凑但存在奇异性，所以需要寻求一种新的旋转描述方式——四元数，它可以更有效地表示和计算旋转操作，并且相对于欧拉角等其他旋转表示方法，四元数不易受到奇异性的影响。
首先需要知道复数可以表达旋转。复数域定义如下，对应了复数的平面坐标系称为复平面，x轴和y轴分别称为实轴和虚轴。当r等于1时称为单位复数。特别的我们拿i乘以一个复数，对应的几何意义是旋转90°。在知道了可以用复数表达旋转后，引入了四元数。
四元数：三维情况下，四元数可作为复数的扩充，具有三个虚部和一个实部。四元数相比于角轴、欧拉角的优势：紧凑、无奇异性。且四元数与角轴之间可以相互转换。
详情请见...
SLAM中四元数、流形、李群、李代数是啥？ - 古月居 (guyuehome.com)
