掌握区间合并：解决实际问题的算法策略和应用案例【python LeetCode题目56】

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题目描述

给出一个区间的集合，请合并所有重叠的区间。

输入格式

intervals：一个二维整数数组，每个子数组包含两个整数，表示一个区间的起始和结束位置。

输出格式

返回一个二维整数数组，表示合并后的区间。

示例

示例 1

输入: intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]
解释: 区间 [1,3] 和 [2,6] 发生重叠，合并成 [1,6].

示例 2

输入: intervals = [[1,4],[4,5]]
输出: [[1,5]]
解释: 区间 [1,4] 和 [4,5] 可被视为重叠区间。

方法一：排序后合并

解题步骤

排序：先按每个区间的起始位置进行排序。
初始化：用一个新列表 merged 来存储最终合并后的区间。
合并区间：遍历排序后的区间列表，如果 merged 为空或者当前区间与 merged 中最后一个区间不重叠，直接添加到 merged；否则，将当前区间与 merged 中最后一个区间进行合并。

完整的规范代码

def merge(intervals):"""使用排序后合并的方法合并区间:param intervals: List[List[int]], 输入的区间列表:return: List[List[int]], 合并后的区间列表"""intervals.sort(key=lambda x: x[0])  # 按区间起点进行排序merged = []for interval in intervals:# 如果列表为空，或当前区间与上一区间不重叠，直接添加if not merged or merged[-1][1] < interval[0]:merged.append(interval)else:# 否则，有重叠，进行合并merged[-1][1] = max(merged[-1][1], interval[1])return merged# 示例调用
print(merge([[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]))  # 输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]
print(merge([[1,4],[4,5]]))  # 输出: [[1,5]]

算法分析

时间复杂度：(O(n log n))，其中 n 是区间的数量。主要耗时操作是排序。
空间复杂度：(O(log n)) 或 (O(n))，取决于所使用的排序算法。

方法二：扫描线算法

解题步骤

创建事件：对于每个区间 [a, b]，创建两个事件：(a, ‘start’) 和 (b, ‘end’)。
排序事件：按照时间点排序这些事件，如果时间点相同，则 ‘end’ 事件在 ‘start’ 事件之前。
扫描处理：扫描排序后的事件列表，使用计数器记录开启的区间数量，根据区间的开启和结束更新合并区间的列表。

完整的规范代码

def merge(intervals):"""使用扫描线算法合并区间:param intervals: List[List[int]], 输入的区间列表:return: List[List[int]], 合并后的区间列表"""events = []  # 事件列表for start, end in intervals:events.append((start, 'start'))events.append((end, 'end'))# 事件排序，结束事件优先于开始事件events.sort(key=lambda x: (x[0], x[1] == 'start'))merged = []ongoing = 0  # 当前开启的区间数for time, typ in events:if typ == 'start':if ongoing == 0:  # 新的区间开始start = timeongoing += 1elif typ == 'end':ongoing -= 1if ongoing == 0:  # 区间结束merged.append([start, time])return merged# 示例调用
print(merge([[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]))  # 输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]
print(merge([[1,4],[4,5]]))  # 输出: [[1,5]]

算法分析

时间复杂度：(O(n log n))，主要耗时在于事件排序。
空间复杂度：(O(n))，用于存储事件。

方法三：动态规划

动态规划方法不是本问题的最优解法，而且实现复杂度高，故不推荐使用。在实际应用中，方法一和方法二已足够解决大多数情况。

不同算法的优劣势对比

特征	方法一: 排序后合并	方法二: 扫描线算法
时间复杂度	(O(n \log n))	(O(n \log n))
空间复杂度	(O(\log n)) 或 (O(n))	(O(n))
优势	简单直观，易于实现	处理复杂情况更高效，适用于区间边界频繁变动的场景
劣势	空间复杂度依赖排序算法	实现相对复杂，需要处理多种事件排序逻辑

确保会议室的使用时间不冲突。以下是如何将区间合并算法应用于会议室预订系统的详细解析：

应用场景：会议室预订系统

场景描述：

一个公司有多个会议室，员工需要预订会议室进行会议。
员工通过系统输入会议的开始和结束时间，系统需要自动显示可用的会议室或者提示时间冲突。

技术实现：

当员工提交一次会议室预订请求时，系统将这个新的时间区间与已存在的预订记录进行比对。
使用区间合并算法来确定是否存在时间上的重叠，从而判断是否可以接受新的预订。

代码示例：

假设我们已经有一些预定记录，现在需要处理新的预定请求。

def merge(intervals):intervals.sort(key=lambda x: x[0])  # 按区间起点进行排序merged = []for interval in intervals:if not merged or merged[-1][1] < interval[0]:merged.append(interval)else:merged[-1][1] = max(merged[-1][1], interval[1])return merged# 已存在的会议预订记录
existing_bookings = [[9, 12], [14, 17], [21, 23]]# 新的会议请求
new_meeting = [13, 15]# 检查新的会议是否可以安排
combined_bookings = existing_bookings + [new_meeting]
merged_bookings = merge(combined_bookings)if len(merged_bookings) != len(existing_bookings) + 1:print("新会议请求与现有会议时间冲突，无法预订。")
else:print("新会议请求成功预订。")existing_bookings = merged_bookings  # 更新现有预订记录print("当前会议室预订情况：", merged_bookings)

输出解析：

程序首先将新的会议请求加入到已有的会议记录中。
通过 merge 函数处理合并后的区间。
如果合并前后的记录数量不变，说明新会议未与现有会议重叠，预订成功；否则，表示时间冲突。

应用二：动态时间表的优化管理

场景描述：

在动态时间表管理，如交通工具的时刻表调整或电视节目的排版中，需要不断调整活动时间以优化整体使用效率或观看率。

技术实现：

利用区间合并算法可以实时调整和优化时间表，合并重叠的或连续的活动区间，减少空闲时间，增加资源使用效率。

代码示例：

假设有一个初步的活动时间表，需要进行优化合并。

activities = [[10, 12], [11, 13], [12, 15], [17, 19]]# 使用区间合并算法优化活动时间表
optimized_activities = merge(activities)
print("优化后的活动时间表：", optimized_activities)