二叉树介绍及堆

文章目录

树

概念及结构

二叉树

概念及结构

特殊的二叉树

完全二叉树

满二叉树

性质

储存

顺序存储

链式储存

堆

概念及结构

小堆

大堆

建堆

向上调整建堆

向下调整建堆

TOPK问题

法一：

法二：

树

概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树。

树的第一个结点被称为根结点。
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2.....、Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）又是一颗结构与树类似的子树。所以树是用递归定义的。

下面是树的常见相关概念

度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。如上图：A的度为6。
叶结点：度为0的节点称为叶结点。如上图：P是叶结点。
子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。如上图：B是A的子结点。
父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为父结点。如上图：A是B的父结点。
树的高度或深度：树中节点的最大层次。如上图：该树的高度是4。

注意：子树之间不能有交集（F只能有一个父结点）。

二叉树

概念及结构

二叉树是一种特殊的树，其特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。所以二叉树是有序树。

一般称左边的树为左子树，右边为右子树最上边的结点是根结点。

特殊的二叉树

完全二叉树

假设该树有h层，则前h-1层的结点数都达到了最大，第h层结点连续集中在左边。

满二叉树

如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

满二叉树是属于完全二叉树的。

性质

1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。

2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1。

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2 ,则有N0 = N2＋1。

4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1)。(log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于下标i的结点有：

(1)若i>0，i位置结点的父结点序号：(i-1)/2；若i=0，i为根结点无父结点。

(2)若2*i+1<n，左孩子序号：2i+1，若2*i+1>=n否则无左孩子。

(3)若2*i+2<n，右孩子序号：2i+2，若2*i+2>=n否则无右孩子。

储存

顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。

在物理上是数组，在逻辑上是二叉树。

链式储存

链式结构存储就是用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。每个结点通常有三个域，数据域和左右指针域。

堆

概念及结构

堆是一种特殊的树形数据结构，通常表现为一棵完全二叉树，是用二叉树的顺序存储方式来存储元素的。

堆分为小堆和大堆

小堆

父结点小于子结点，但是父结点下面的两个子结点没大小区分。

大堆

父结点大于子结点，但是父结点下面的两个子结点没大小区分。

建堆

以下均为建小堆

向上调整建堆

适用于一边插入一边建堆的情况。

找到该孩子的父结点(利用上面性质5)，在让父结点与它进行比较如果小于它则退出，如果大于则交换位置，重复上述操作直至循环结束或跳出循环。

void AdjustUp(int* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (arr[child] < arr[parent])//将<改为>即建大堆{Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}elsebreak;}
}

注：Swap是交换位置函数。

void Swap(int* p1, int* p2)
{int temp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = temp;
}

向下调整建堆

适用于对根节点进行调整。

找到它的两孩子中小的那个，在让这个小的孩子与它进行比较如果孩子大于它则退出，如果小于则交换位置，重复上述操作直至循环结束或跳出循环。

void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{int child = (parent * 2) + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child])//child + 1 < n防止非法访问，将后面的<改为>即建大堆{child++;}if (arr[parent] > arr[child])//将<改为>即建大堆{Swap(&arr[parent], &arr[child]);parent = child;child = (parent * 2) + 1;}elsebreak;}
}
//以上两个大小号均需要更改才能是建大堆

TOPK问题

TOPK问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素。一般来说数据量比较大。

如果有一个数组，数组里有N个数据，我们要找最大的前K个数据，要怎么做呢？

找最大的前K个元素建大堆。

找最小的前K个元素建小堆。

法一：

先建一个大堆，然后让第一个结点的数据与最后一个结点交换，拿出最后的那个结点，然后再让根结点向下调整。重复上述操作K次。

void Heapsort(int* a, int n)
{int k = 0;scanf("%d", &k);for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}while (k--){Swap(&a[n - 1], &a[0]);AdjustDown(a, n - 1, 0);n--;}
}

搞完后，数值大的数据都在数组的后面。我在这里没有拿出来。

法二：

先建一个K个数据的小堆，然后让后面的N-K个数据跟该小堆的根结点进行比较，如果大于则进行交换，然后向下调整。最后拿出该堆即可。

void Heapsort(int* a, int n)
{int k = 0;scanf("%d", &k);for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, k, i);}for (int i = k; i < n; i++){if (a[i] > a[0]){Swap(&a[i], &a[0]);AdjustDown(a, k, 0);}}
}

大家应该注意到了哈，这次建堆的方式有点不一样，这是先找到树的最后一个根结点(画四角星的是树的最后一个根结点)