【模板】多项式乘法（FFT）

题目背景

这是一道多项式乘法模板题。

注意：本题并不属于中国计算机学会划定的提高组知识点考察范围。

题目描述

给定一个 $n$ 次多项式 $F(x)$，和一个 $m$ 次多项式 $G(x)$。

请求出 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的卷积。

输入格式

第一行两个整数 $n,m$。

接下来一行 $n+1$ 个数字，从低到高表示 $F(x)$ 的系数。

接下来一行 $m+1$ 个数字，从低到高表示 $G(x)$ 的系数。

输出格式

一行 $n+m+1$ 个数字，从低到高表示 $F(x)\cdot G(x)$ 的系数。

样例 #1

样例输入 #1

1 2
1 2
1 2 1

样例输出 #1

1 4 5 2

提示

保证输入中的系数大于等于 $0$ 且小于等于 $9$。

对于 $100\%$ 的数据：$1\le n,m\le {10}^6$。

原题

洛谷P3803——传送门

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;// NTT的特殊要求:模数P需满足P=k*2^m+1，例如常用的模数998244353=7*17*2^23+1
const int Mod = 998244353;
const int G = 3; // 998244353的原根为3
const int maxn = 1e6 + 6;int QuickPow(int a, int k) // 快速幂
{int ret = 1;while (k){if (k & 1)ret = 1LL * ret * a % Mod;a = 1LL * a * a % Mod;k >>= 1;}return ret;
}int rev[3 * maxn];
inline void GetReverse(int len, int lg) // 获得二进制位的反转
{for (int i = 0; i < len; i++)rev[i] = 0;for (int i = 0; i < len; i++)rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lg - 1));
}void NTT(vector<int> &a, int dir)
{int len = a.size();for (int i = 0; i < len; i++)if (i < rev[i])swap(a[i], a[rev[i]]);int g = (dir == 1 ? G : QuickPow(G, Mod - 2));for (int stp = 1; stp < len; stp <<= 1){int wn = QuickPow(g, (Mod - 1) / (stp << 1));int w = 1;for (int k = 0; k < stp; k++){for (int even = k; even < len; even += stp << 1){int odd = even + stp;int tmp = 1LL * w * a[odd] % Mod;a[odd] = (a[even] - tmp + Mod) % Mod;a[even] = (ll)(a[even] + tmp) % Mod;}w = 1LL * w * wn % Mod;}}if (dir == -1){int inv = QuickPow(len, Mod - 2); // 乘法逆元for (int i = 0; i < len; i++)a[i] = 1LL * a[i] * inv % Mod;}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);// 以下代码实现了多项式f(x)和多项式g(x)相乘int n, m;cin >> n >> m;int lg = 0;int bound = 1; // 将多项式的系数扩充到2的整数次幂while (bound <= n + m){bound <<= 1;lg++;}GetReverse(bound, lg);vector<int> f(bound, 0), g(bound, 0); // 数组大小开到bound(即结果多项式扩充后的大小)for (int i = 0; i <= n; i++){cin >> f[i];}for (int i = 0; i <= m; i++){cin >> g[i];}NTT(f, 1);NTT(g, 1);for (int i = 0; i < bound; i++){f[i] = (1LL * f[i] * g[i]) % Mod; // 将相乘结果存储在f[]数组中}NTT(f, -1);for (int i = 0; i <= n + m; i++){cout << f[i] << ' ';}return 0;
}