前言

        本期我们将学习位运算，与本期类型的考点（二进制转换）反码、补码、原码。

1、位运算是什么

首先我们需要先了解位运算是什么。

我们知道，计算机中的数在内存中都是以二进制形式进行存储的 ，而位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作，因此其执行效率非常高，在程序中尽量使用位运算进行操作，这会大大提高程序的性能。

那么，涉及位运算的运算符如下表所示：

符号	描述	运算规则	实例（以四位二进制数为例）
&	与	两个位都为1时，结果才为1。	0001&0001=1,0001&0000=0,0000&0000=0000
|	或	两个位都为0时，结果才为0。	0001∣0001=0001,0001∣0000=0001,0000∣0000=0000
^	异或	两个位相同为0，相异为1。	0001∧0001=0000,0001∧0000=1,0000∧0000=0
~	取反	0变1，1变0。	∼0=1,∼1=0
<<	左移	各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0。	0001<<k=0100，k=2，k kk是左移的位数，这里k = 2 k=2k=2
>>	右移	各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补0，有符号数，右移补1 11。	0100>>k=0001，k=2，k kk是右移的位数，这里k = 2 k=2k=2

2、位运算的性质

2.1 运算符的优先级

优先级需要弄清楚，如果不太清楚可以加小括号确保是想要的运算顺序，这里只是相对优先级，即只是和一些常用的算术运算符做比较。

2.2 位运算符的运算律

3、位运算高级操作

如下表，请读者认真阅读理解，在阅读的过程中可以对示例进行运算。

当然，这里只是一些常用的，并不是全部，位运算的神奇远不止于此。

4、负数的位运算 

首先，我们要知道，在计算机中，运算是使用的二进制补码，而正数的补码是它本身，负数的补码则是符号位不变，其余按位取反，最后再+ 1 +1+1得到的， 例如：

15 1515,原码:00001111   00001111\space00001111 补码:00001111 0000111100001111

− 15 -15−15,原码:10001111   10001111\space10001111 补码:11110001 1111000111110001

那么对于负数的位运算而言，它们的操作都是建立在补码上的，得到的运算结果是补码，最后将补码结果转化成一个普通的十进制数结果。
但需要注意的是，对于有符号数的右移操作，不同的处理器架构可能有不同的规定。在某些架构中（如x86），如果对有符号数执行算术右移（arithmetic right shift），则高位空出来的位置会补上符号位；对于无符号数的右移操作，所有架构都遵循相同的规则：高位空出来的位置会补0。例如对于− 15 -15−15，其补码为11110001 , 11110001,11110001,右移一位( − 15 > > 1 ) (-15>>1)(−15>>1)得到的是11111000 1111100011111000，即− 8 -8−8，其他的同理。
在大多数现代处理器上，无论是有符号数还是无符号数，左移操作总是将空出来的低位补0。

这里我们介绍几个特殊的性质：

• 快速判断是否为-1

        在链式前向星中，我们初始化h e a d headhead数组为− 1 -1−1，最后判断是否遍历完u uu的所有边时，即判断i ii是否为− 1 -1−1，我们直接用∼ i \sim i∼i即可。原因就在于− 1 -1−1的补码是11111111 1111111111111111，按位取反就变为00000000 0000000000000000，这实际上就是0 00。

• 取最低位的1，lowbit函数

        也就是x & ( − x ) x\&(-x)x&(−x)，这在树状数组中起着巨大作用，这里指路一篇树状数组讲解b l o g blogblog:点这里，我们来证明一下，这里取x = 15 x=15x=15，对于15 & ( − 15 ) 15\&(-15)15&(−15)，我们知道，在补码上进行运算得到的是00000001 0000000100000001，需要注意二元运算的符号位我们需要进行运算。

位运算的运用

1、判断第i位是否为0

2、将第i位设置为1

3、统计有多少个1 

int count(int x){int cnt = 0;while(x){x = x & (x - 1);cnt ++;}return cnt;
}

对于任意的x xx，转换成二进制后，是形如这样的数字：a a . . . a a 10...00 aa...aa10...00aa...aa10...00，从右向左数有任意多个0 00，直到遇见第一个1 11，字母a aa用来占位，代表1 11左边的任意数字。x − 1 x-1x−1转换成二进制后，是形如这样的数字：a a . . . a a 01...11 aa...aa01...11aa...aa01...11，从右向左数，原来的任意多个0 00都变成1 11，原来的第一个1 11，变成0 00，字母a aa部分不变。对x xx 和 x − 1 x-1x−1 进行 按位与 计算，会得到：a a . . . a a 00...00 aa...aa00...00aa...aa00...00，从右向左数，原来的第一个1 11变成了0 00，字母a部分不变。所以 x & ( x − 1 ) x \& (x-1)x&(x−1)相当于消除了 x xx 从右向左数遇到的第一个1 11。那么，x xx转换成二进制后包含多少个1 11，count函数里的循环就会进行多少次，直到x xx所有的1 11都被“消除”。