一、基本概念

吸引力
$${\mathbf{F}}_a(n_i)=\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}{\omega }_{i,j}{d}_E(n_i,n_j){\mathbf{V}}_{i,j}$$
其中$n_i$代表节点$i$，${\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)$代表与节点$n_i$相连的所有节点的集合。${\omega }_{i,j}$是节点$n_i$与节点$n_j$之间边的权重。$d_E(n_i,n_j)$是节点$n_i$与节点$n_j$之间的距离。${\mathbf{V}}_{i,j}$是从节点 $n_i$倒节点 $n_j$之间的单位方向矢量。

图1. 吸引力定义中一些基本概念示意图

斥力
$${\mathbf{F}}_r(n_i)=\sum _{n_j\in \mathcal{N},n\ne n_j}{k}_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)}{d_E(n_i,n_j)}{\mathbf{V}}_{j,i}$$
$\mathcal{N}$所有节点的集合，$k_r$一个$(0,1)$之间的系数。$D(n_i)$节点$n_i$的度，$D(n_j)$节点$n_j$的度。${\mathbf{V}}_{j,i}$节点$n_j$倒节点$n_i$的单位方向矢量。

二、关于力引导过程是启发式与否的探讨

问：力引导系统的过程的结果是确定的吗？
答：是

证明过程出发点：
只要证明最终顶点分布是一个确定的结果，是否就证明了该结果是非启发式的。

证明：
力引导过程最终平衡态是指整个系统达到力的平衡 $\to$ 所有节点的速度为0，即 $v(n_i)\to 0,i=1,\cdots ,N$。下面将开始推导平衡态情况下，节点所处的状态。

按照系统合力为0推导

0 = F r e s u l t a n t = ∑ n i ∈ N { F n i 节点所受吸引力合力 ( n i ) + F n i 节点所受斥力合力 ( n i ) } \bm{0}=\bm{F}_{resultant}=\sum_{n_i \in N} \left\{ \bm{F}_{n_i节点所受吸引力合力}(n_i)+\bm{F}_{n_i节点所受斥力合力}(n_i) \right\} 0=Fresultant​=ni​∈N∑​{Fni​节点所受吸引力合力​(ni​)+Fni​节点所受斥力合力​(ni​)}
= ∑ n i ∈ N { F a ( n i ) + F r ( n i ) } =\sum_{n_i \in N} \left\{ \bm{F}_a(n_i) + \bm{F}_r(n_i) \right\} =ni​∈N∑​{Fa​(ni​)+Fr​(ni​)}
$$=\sum _{n_i\in N}\left\{\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}{\omega }_{i,j}{d}_E(n_i,n_j){\mathbf{V}}_{i,j}+\sum _{n_k\in \mathcal{N},n_k\ne n_i}{k}_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_k)+1)}{d_E(n_i,n_k)}{\mathbf{V}}_{k,i}\right\}$$

= ∑ n i ∈ N { 俩节点相同的斥力和吸引力 + 不存在吸引力的节点之间的斥力 } =\sum_{n_i \in N} \left\{ 俩节点相同的斥力和吸引力 + 不存在吸引力的节点之间的斥力 \right\} =ni​∈N∑​{俩节点相同的斥力和吸引力+不存在吸引力的节点之间的斥力}

$$=\sum _{n_i\in N}\left\{\left\{\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}{\omega }_{i,j}{d}_E(n_i,n_j){\mathbf{V}}_{i,j}+\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}{k}_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)}{d_E(n_i,n_j)}{\mathbf{V}}_{j,i}\right\}+\sum _{n_k\in \mathcal{N},n_k\ne n_i}{k}_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_k)+1)}{d_E(n_i,n_k)}{\mathbf{V}}_{k,i}\right\}$$

令$d_E(n_i,n_j)=d_j$，其对应的x、y和z三轴分量为$d_j^x,d_j^y,d_j^z$，上述推导过程中存在矢量，下面我将采用解析结合，进一步推导。${\mathbf{V}}_{i,j}$在$x$、$y$和$z$轴上的坐标分别为$(p_x,p_y,p_z)$，则${\mathbf{V}}_{j,i}$在$x$、$y$和$z$轴上的坐标分别为$(-p_x,-p_y,-p_z)$。则上述公式可拆分为两个函数$f_1$和$f_2$

$$f_1=\left(\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}\left\{{\omega }_{i,j}{d}_j^x{p}_x-k_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)}{d_j^x}{p}_x\right\},\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}\left\{{\omega }_{i,j}{d}_j^y{p}_y-k_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)}{d_j^y}{p}_y\right\},\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}\left\{{\omega }_{i,j}{d}_j^z{p}_z-k_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)}{d_j^z}{p}_z\right\}\right)$$

$$f_2=\sum _{n_k\in \mathcal{N},n_k\ne n_i}{k}_r\frac{(D(n_i)+1)(D(n_k)+1)}{d_E(n_i,n_k)}{\mathbf{V}}_{k,i}$$
其中，$f_1$是关于各个$d_E(n_i,n_j)$的函数， $f_2$是关于各个$d_E(n_i,n_k)$的函数。再令，${\omega }_{i,j}{p}_x=k_1^{d_j^x}$和$-k_r(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)p_x=k_2^{d_j^x}$、${\omega }_{i,j}{p}_y=k_1^{d_j^y}$和$-k_r(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)p_y=k_2^{d_j^y}$、${\omega }_{i,j}{p}_z=k_1^{d_j^z}$和$-k_r(D(n_i)+1)(D(n_j)+1)p_z=k_2^{d_j^z}$。那么函数$f_1$则为

$$f_1=\left(\sum _{n_j\in {\mathcal{N}}_{ctd}(n_i)}\left\{k_1^{d_j^x}{d}_j^x+\frac{k_2^{x_j}}{d_j^x}\right\},\left\{k_1^{d_j^y}{d}_j^y+\frac{k_2^{d_j^y})}{d_j^y}\right\},\left\{k_1^{d_j^z}{d}_j^z+\frac{k_2^{d_j^z})}{d_j^z}\right\}\right)$$

此时求偏导
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f_1}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f_1}{\partial y}=0\\ \frac{\partial f_1}{\partial z}=0\end{array}$$

由于距离只能为正，为了使得函数$f_1$最小，应满足距离满足如下情况
（1）根据函数$f_1$，相互连接的节点之间应满足距离$\frac{k_1^{d_j}}{k_2^{d_j}}$；
（2）根据函数$f_2$，没有连接的节点之间的距离趋于无穷大。