MATLAB实现遗传算法优化选址-路径LRP问题(Location-Routing Problem)

一、模型

选址车辆路径问题（Location-Routing Problem, LRP）是一个组合优化问题，旨在同时优化设施位置的选择和车辆的配送路径。在这个问题中，我们考虑一个由多个候选设施位置、多个客户需求点以及多种车辆类型组成的系统。目标是确定设施的位置，并规划出从设施到各客户需求点的最优配送路径，以最小化总成本。

模型假设：

候选设施点和客户需求点的位置是已知的。
每种车辆类型的容量、成本和行驶速度等特性是已知的。
交通流量和道路条件可以量化为成本和时间的影响。
客户需求点的需求量是已知的，且每个客户需求点只能由一个设施点服务。
车辆从设施点出发，完成配送任务后返回原设施点。

目标函数：

最小化总成本，包括固定成本（设施建设、车辆购买等）和变动成本（运输成本、时间成本等）。

目标函数可以表示为：

$Z = \min \left( \sum_{i \in I} f_i x_i + \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} \sum_{k \in K} c_{ijk} y_{ijk} \right)$

其中：

I是候选设施点的集合。
J是客户需求点的集合。
K是车辆类型的集合。
$f_i$ 是在候选设施点 (i) 建立设施的固定成本。
$c_{ijk}$ 是使用类型 (k) 的车辆从设施点 (i) 到客户需求点 (j) 的运输成本。
$x_i$ 是二进制决策变量，表示是否在候选设施点 (i) 建立设施。
$y_{ijk}$ 是二进制决策变量，表示是否使用类型 (k) 的车辆从设施点 (i) 到客户需求点 (j) 进行配送。

约束条件：

(1)每个客户需求点只能由一个设施点服务：

$\sum_{i \in I} \sum_{k \in K} y_{ijk} = 1, \forall j \in J$

(2)车辆容量约束：

$\sum_{j \in J} d_j y_{ijk} \leq Q_k x_i, \forall i \in I, k \in K$

其中：

$d_j$ 是客户需求点 (j) 的需求量。
$Q_k$ 是类型 (k) 车辆的容量。

(3)设施点必须被选中才能从其出发进行配送：

$y_{ijk} \leq x_i, \forall i \in I, j \in J, k \in K$ $x_i \in {0, 1}, \forall i \in I$

$y_{ijk} \in {0, 1}, \forall i \in I, j \in J, k \in K$

本数学模型通过优化设施位置和车辆路径来最小化总成本。

二、遗传算法

遗传算法的流程可以归纳为以下几个步骤：

决策变量编码方案：
采用两层编码方案：
（1）第一层编码为选址变，长度为I, 表示选择哪些候选点建设配送中心；
（2）第二层编码为配送路径编码，长度为J，表示选择需求点的配送优先度。
初始化种群：
- 种群是由一组个体组成的，每个个体代表一个可能的解。
- 初始化种群是指随机生成一定数量的个体作为初始解集合。这些个体的基因组合形成了种群的初始基因型。
适应度评估：
- 适应度评估是为了衡量每个个体的适应度，即它们相对于解决问题的能力。
- 根据问题的定义，可以计算每个个体的适应度值。这个值通常用于后续的选择操作。
选择操作：
- 选择操作是为了从当前种群中选择出适应度较高的个体，使其有更大的概率被选入下一代种群。
- 常用的选择方法有轮盘赌选择、锦标赛选择等。选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的。
交叉操作：
- 交叉操作是为了模拟生物个体的基因交换过程，通过将两个个体的基因染色体进行交叉，产生新的个体。
- 交叉操作可以增加种群的多样性，有助于发现更好的解。遗传算法中起核心作用的就是交叉运算。
变异操作：
- 变异操作是为了模拟基因的突变现象，通过对个体的基因进行随机变动，引入新的基因信息。
- 变异操作可以增加解的搜索空间，避免算法陷入局部最优解。即将变异算子作用于群体，对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动。
终止条件判断：
- 终止条件是指遗传算法的终止条件，即算法何时停止迭代。
- 可以根据问题的要求设定终止条件，如达到一定的迭代次数、找到满足要求的解等。
- 若满足终止条件，则以进化过程中所得到的具有最大适应度个体作为最优解输出，终止计算。

通过上述步骤的迭代，遗传算法可以逐步优化种群，使其逐渐接近问题的最优解。

三、MATLAB程序及结果

部分MATLAB主程序如下：

程序结果如下：

最优目标函数

bestValue1 =

500.095731091227

最优染色体

bestChrom1 =

1 至 28 列

1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 3 1 3 2 18 6 8 17 13 9 2 14 1 10

29 至 36 列

4 3 16 11 7 12 15 5

显示配送中心1的各个路径
第1辆车的路径

route1 =

0 14 1 16 0

运行时间表

outcell01 =

'路径点' '到达时间' '开始服务时间' '结束时间'
[ 0] [ 0] [ 0] [ 0]
[ 14] [3.31058907144937] [3.31058907144937] [3.31058907144937]
[ 1] [5.13541783053884] [5.13541783053884] [5.13541783053884]
[ 16] [6.33541783053884] [6.33541783053884] [6.33541783053884]
[ 0] [9.86953723995329] [9.86953723995329] [9.86953723995329]

---------------------------------------------------------------------------
显示配送中心2的各个路径
第1辆车的路径

route1 =

0 18 8 9 10 7 0

运行时间表

outcell01 =

'路径点' '到达时间' '开始服务时间' '结束时间'
[ 0] [ 0] [ 0] [ 0]
[ 18] [3.94588393138977] [3.94588393138977] [3.94588393138977]
[ 8] [5.67215158155298] [5.67215158155298] [5.67215158155298]
[ 9] [7.17215158155298] [7.17215158155298] [7.17215158155298]
[ 10] [8.11554969475864] [8.11554969475864] [8.11554969475864]
[ 7] [8.71554969475864] [8.71554969475864] [8.71554969475864]
[ 0] [11.8920257296124] [11.8920257296124] [11.8920257296124]

---------------------------------------------------------------------------
显示配送中心3的各个路径
第1辆车的路径

route1 =

0 6 17 13 2 0

运行时间表

outcell01 =

'路径点' '到达时间' '开始服务时间' '结束时间'
[ 0] [ 0] [ 0] [ 0]
[ 6] [1.99248588451713] [1.99248588451713] [1.99248588451713]
[ 17] [5.95859228752752] [5.95859228752752] [5.95859228752752]
[ 13] [7.00262293841857] [7.00262293841857] [7.00262293841857]
[ 2] [7.98750871859818] [7.98750871859818] [7.98750871859818]
[ 0] [10.1088290621578] [10.1088290621578] [10.1088290621578]

第2辆车的路径

route1 =

0 4 3 11 12 15 0

运行时间表

outcell01 =

'路径点' '到达时间' '开始服务时间' '结束时间'
[ 0] [ 0] [ 0] [ 0]
[ 4] [2.37065391822594] [2.37065391822594] [2.37065391822594]
[ 3] [4.07359255481858] [4.07359255481858] [4.07359255481858]
[ 11] [6.90201967956477] [6.90201967956477] [6.90201967956477]
[ 12] [8.57832514098879] [8.57832514098879] [8.57832514098879]
[ 15] [10.3811007787208] [10.3811007787208] [10.3811007787208]
[ 0] [16.0131519148523] [16.0131519148523] [16.0131519148523]

第3辆车的路径

route1 =

0 5 0

运行时间表

outcell01 =

'路径点' '到达时间' '开始服务时间' '结束时间'
[ 0] [ 0] [ 0] [ 0]
[ 5] [1.06301458127347] [1.06301458127347] [1.06301458127347]
[ 0] [2.12602916254693] [2.12602916254693] [2.12602916254693]

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