在 n × n n \times n n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的 n n n个皇后,按照国际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子
n n n皇后问题等价于,在 n × n n \times n n×n格的棋盘上放置 n n n个皇后,任何 2 2 2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上
回溯算法
用 n n n元组 x [ 1 : n ] x[1 : n] x[1:n]表示 n n n皇后问题的解, x [ i ] x[i] x[i]表示皇后 i i i放在棋盘的第 i i i行的第 x [ i ] x[i] x[i]列
如果将$n \times n $格的棋盘看做二维方阵,其行号从上到下,列号从左到右依次编号为 1 1 1, 2 2 2, ⋯ \cdots ⋯, n n n,从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线上, 2 2 2个下标值的差值相等,斜率为 + 1 +1 +1的每条斜线上, 2 2 2个下标值的和值相等,若 2 2 2个皇后放置的位置分别是 ( i , j ) (i , j) (i,j)和 ( k , l ) (k , l) (k,l),且 i − j = k − l i - j = k - l i−j=k−l或 i + j = k + l i + j = k + l i+j=k+l,则说明这 2 2 2个皇后处于同一斜线上,由此可知,只要 ∣ i − k ∣ = ∣ j − l ∣ |i - k| = |j - l| ∣i−k∣=∣j−l∣成立,就表明 2 2 2个皇后位于同一条斜线上
用回溯法解 n n n皇后问题时,用完全 n n n叉树表示解空间
可行性约束剪去不满足行、列和斜线约束的子树
当 i = n i = n i=n时,算法搜索至叶结点,得到一个新的 n n n皇后互不攻击放置方案,当前已找到的可行方案数 s u m sum sum增 1 1 1
当 i < n i < n i<n时,当前扩展结点 Z Z Z是解空间中的内部结点,该结点有 n n n个儿子结点,对当前扩展结点 Z Z Z的每个儿子结点检查其可行性,并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索,或剪去不可行子树
Python实现
defsolve_n_queens(n):board =[['.']* n for _ inrange(n)]solutions =[]defis_valid(row, col):# 检查当前位置是否可以放置皇后for i inrange(row):if board[i][col]=='Q':returnFalseif col -(row - i)>=0and board[i][col -(row - i)]=='Q':returnFalseif col +(row - i)< n and board[i][col +(row - i)]=='Q':returnFalsereturnTruedefbacktrack(row):if row == n:# 找到一个解决方案solutions.append([''.join(row)for row in board])returnfor col inrange(n):if is_valid(row, col):board[row][col]='Q'backtrack(row +1)board[row][col]='.'backtrack(0)return solutionsn =4solutions = solve_n_queens(n)print('-'*5)for solution in solutions:print('\n'.join(solution))print('-'*5)