今日复习了朴素LCS,学习了LCS优化，以及LCIS 最长上升公共子序列

P1439 最长公共子序列

题目描述

给出 1,2,…,𝑛 的两个排列 𝑃1​ 和 𝑃2​ ，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 𝑛。

接下来两行，每行为 n 个数，为自然数 1,2,…,n 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

• 对于 100% 的数据， 𝑛≤1e5。

由上述数据可知，朴素算法会被卡，因此要根据全排列性质进行优化，因为两个序列只是数的位置不同，因此可以用离散化方式将第一个序列映射成单调的1,2,3,4....n则只需要在第二个序列在此映射关系下的单调序列的最长长度即可,即可转换成LIS问题，LIS优化方法可以做到nlogn

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int a[N],b[N],g[N],map[N],n;//f[i]表示长度位i结尾最小的值int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i],map[a[i]]=i;//离散化映射for(int i=0;i<n;i++) cin>>b[i];int len=0;for(int i=0;i<n;i++){int t=map[b[i]];int pos=lower_bound(g+1,g+len+1,t)-g;g[pos]=t;len=max(pos,len);}cout<<len;return 0;
}

Acwing 3510. 最长公共子序列

同理只需要把第二个序列在第一个序列中不存在的去掉即可

Acwing 272. 最长公共上升子序列

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入格式

第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。

第二行包含 N 个整数，表示数列 A。

第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

1≤𝑁≤3000,序列中的数字均不超过 2^31−1。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

朴素写法:

首先更据LIS,和最长公共子序列,可以将集合f[i,j]表示为由a的前i个，b的前j个且以b[j]结尾的公共上升子序列长度，属性为最大值

划分依据为a[i]是否被包含，不包含a[i]就是f[i-1,j]

包含a[i]则必然有a[i]=b[j]

可以将包含a[i]的情况按照序列倒数第二个数进行划分,为空(只有一个)，为b[1------j-1]

将f[i,k]+1(以b[j]结尾的一个加上)取最大值即可

最后枚举f[n][k]枚举每个b[k]结尾的最长公共子序列长度取最大即可

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=3050;
int a[N],b[N],f[N][N];//f[i][j]表示以a中前i个,b中前j个且以b[j]结尾的公共子序列长度的最大值int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(a[i]==b[j]){f[i][j]=max(f[i][j],1);//若从上面继承的为0,就取空值1,表示一个元素for(int k=1;k<j;k++)if(b[k]<b[j])//注意用b[1到j-1]更新时要保证小于b[j]才能继承f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+1);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);cout<<res;return 0;
}

但是当有极限情况时，也就是3000个数每个都相同时，会跑满三重循环导致超时，因此要进行优化,因此把相等条件替换进if表达式,因此b[k]<a[i]与b[j]无关，只与j-1有关

因此用一个变量maxv在遍历前j-1时存最大值对代码做等价变形即可

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=3010;
int a[N],b[N],f[N][N];//f[i][j]表示以a中前i个,b中前j个且以b[j]结尾的公共子序列长度的最大值
int g[N][N];//满足b[j]<a[i]的f[i][j]+1的最大值int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];for(int i=1;i<=n;i++){int maxv=1;for(int j=1;j<=n;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],maxv);if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i][j]+1);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);cout<<res;return 0;
}