Eigen几何变换类 (Transform, Quaternion等)

1. `Transform` 类：仿射/射影变换

模板参数

cpp

Transform<Scalar, Dim, Mode, Options>

Scalar：数据类型（如 float, double）。
Dim：维度（2 或 3）。
Mode：变换类型：
- Affine（默认）：仿射变换（平移+旋转+缩放）。
- AffineCompact：无缩放项的仿射变换。
- Projective：射影变换（含透视效果）。
Options：存储顺序（ColMajor 或 RowMajor）。

核心属性与方法

方法/属性	参数说明	返回值/功能	示例
`matrix()`	无	返回底层 4x4 变换矩阵	`Matrix4f m = t.matrix();`
`translate(Vector3f)`	平移向量	应用平移（修改自身）	`t.translate(Vector3f(1, 0, 0));`
`rotate(Quaternionf)`	四元数或旋转矩阵	应用旋转	`t.rotate(AngleAxisf(M_PI/2, Vector3f::UnitZ()));`
`scale(Scalar)` 或 `scale(Vector3f)`	统一缩放因子或各轴独立缩放	应用缩放	`t.scale(2.0);`
`prescale()`, `prerotate()`, `pretranslate()`	类似上述方法，但右乘（先执行新变换）	链式变换	`t.pretranslate(Vector3f(0, 1, 0));`
`inverse()`	无	返回逆变换	`Transform3f inv_t = t.inverse();`
`linear()`	无	返回线性部分（旋转+缩放，3x3矩阵）	`Matrix3f R = t.linear();`
`translation()`	无	返回平移部分（向量）	`Vector3f pos = t.translation();`

初始化方式

方法	示例	说明
单位变换	`Transform3f t = Transform3f::Identity();`	初始化为单位变换
从旋转矩阵构造	`t.linear() = AngleAxisf(θ, axis).toRotationMatrix();`	设置旋转部分

2. `Quaternion` 类：三维旋转

模板参数

cpp

Quaternion<Scalar, Options>

Scalar：数据类型（如 float, double）。
Options：存储顺序（AutoAlign 或 DontAlign）。

核心属性与方法

方法/属性	参数说明	返回值/功能	示例
`w()`, `x()`, `y()`, `z()`	无	访问四元数分量（实部 `w`，虚部 `x,y,z`）	`float qw = q.w();`
`coeffs()`	无	返回向量格式 `[x, y, z, w]`	`Vector4f coeff = q.coeffs();`
`normalize()`	无	归一化四元数（修改自身）	`q.normalize();`
`conjugate()`	无	返回共轭四元数	`Quaternionf q_conj = q.conjugate();`
`toRotationMatrix()`	无	转换为 3x3 旋转矩阵	`Matrix3f R = q.toRotationMatrix();`
`AngleAxis(angle, axis)`	`angle`：弧度，`axis`：旋转轴（需归一化）	从轴角构造四元数	`Quaternionf q = AngleAxisf(M_PI/2, Vector3f::UnitZ());`
`slerp(Scalar t, Quaternion other)`	`t`：插值因子（0~1），`other`：目标四元数	球面线性插值	`Quaternionf q_interp = q1.slerp(0.5, q2);`

初始化方式

方法	示例	说明
直接构造	`Quaternionf q(w, x, y, z);`	注意参数顺序（w在前）
从旋转矩阵构造	`Quaternionf q(rotation_matrix);`	需矩阵正交

3. 其他几何类

(1) `AngleAxis`（轴角表示）

方法/属性	参数说明	示例
`angle()`	返回旋转角度（弧度）	`float θ = aa.angle();`
`axis()`	返回旋转轴（需归一化）	`Vector3f axis = aa.axis();`
`toRotationMatrix()`	转换为 3x3 旋转矩阵	`Matrix3f R = aa.toRotationMatrix();`

(2) `Rotation2D`（二维旋转）

方法	参数说明	示例
`angle()`	返回旋转角度（弧度）	`Rotation2Df rot(M_PI/4);`
`toRotationMatrix()`	转换为 2x2 旋转矩阵	`Matrix2f R = rot.toRotationMatrix();`

4. 代码示例

组合变换（平移+旋转+缩放）

cpp

#include <Eigen/Geometry>
using namespace Eigen;// 初始化变换
Transform<float, 3, Affine> t = Transform<float, 3, Affine>::Identity();
t.translate(Vector3f(1, 2, 3));                      // 平移
t.rotate(Quaternionf(AngleAxisf(M_PI/2, Vector3f::UnitX()))); // 绕 X 轴旋转 90°
t.scale(0.5);                                        // 缩放// 应用变换到点
Vector3f p(0, 1, 0);
Vector3f p_transformed = t * p;  // 结果: (1, 2.5, 3)

四元数插值

cpp

Quaternionf q1 = Quaternionf::Identity();
Quaternionf q2(AngleAxisf(M_PI/2, Vector3f::UnitZ()));
Quaternionf q_mid = q1.slerp(0.5, q2);  // 中间旋转

5. 关键注意事项

变换顺序：Eigen 默认左乘（即 t.rotate() 是相对于局部坐标系）。
- 使用 prerotate()/pretranslate() 可切换为右乘（相对于世界坐标系）。
性能优化：
- 对于纯旋转，直接使用 Quaternion 或 AngleAxis 比 Transform 更高效。
- 频繁变换组合时，优先复用 Transform 对象。
归一化：四元数和旋转轴需手动归一化（normalize()）。

6. 几何类对比

类名	最佳用途	内存占用	计算效率
`Transform`	复合变换（平移+旋转+缩放）	16 floats (3D)	中等
`Quaternion`	纯旋转/插值	4 floats	高
`AngleAxis`	轴角表示旋转	4 floats (3+1)	低（需转换）
`Rotation2D`	二维旋转	1 float	高