线性规划

线性规划的基本概念

线性规划问题可以分为两类问题：
（1）如何合理地使用有限的资源以得到最大的效益。
（2）为了达到一定的目的，如何组织生产或安排相关计划以使消耗资源达到最少。
决策变量：问题中可以控制的变化的因素，通常记为：$x_i,i=1,2,...,n$它的值可以至少在某一个范围内变化，决策变量可以分为两类：离散变量和连续变量。
目标函数：通过决策变量构造的函数来表达决策者的某种愿望。
约束条件：问题中所满足的条件。

线性规划的数学模型

此类规划问题具有以下特征：
（1）用决策变量表示可控因素，变量的一组取值$(x_1,x_2,...,x_n)$代表一个解决方案，通常要求非负。
（2）存在一定的约束条件，可以用自变量的线性方程或者线性不等式来表示。
（3）都有一个需达成的目标，该目标是自变量的线性函数，称为目标函数，根据需要使目标函数最大化或者最小化。
其一般的模式：
$$\begin{gathered} \max z=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j⩽b_1\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{2j}{x}_j⩽b_2\\ ......\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j⩽b_m\\ x_1...,x_i...,x_n⩾0\end{array} \end{gathered}$$

线性规划的标准模型

由于线性规划模型的目标函数和约束条件各有多种表现形式，为了得到一种普适的求解方法，要将其标准化：

• 目标函数一律是求最大值
• 约束条件为等式
• 约束条件右端的常数项$b_i$一律为非负值，即$b_i⩾0$
• 变量$x_j$取值一律为非负值，即$x_j⩾0$
  标准形式的表示方法有如下三种：

1. $$\begin{gathered} \max z=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j⩽b_1\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{2j}{x}_j⩽b_2\\ ......\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j⩽b_m\\ x_1...,x_i...,x_n⩾0\end{array} \end{gathered}$$
2. $$\begin{gathered} \max z=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j⩽b_i,i=1,...,m\\ x_j⩾0,j=1,2,...,n\end{array} \end{gathered}$$
   3.$$\begin{gathered} \max z=\mathbf{CX} \\ s.t.\{\begin{array}{c}\mathbf{AX}=\mathbf{b}\\ \mathbf{X}⩾0\end{array} \end{gathered}$$

对非标准形式标准化

• 目标函数的转化:
  最小值的话就乘$-1$
• 约束条件右端常数项化为非负值:
  同乘$-1$,注意不等式要变号
• 不等式约束转化为等式约束：
  引入偏差变量：偏差变量恒正
• 变量约束的转化：
  如果$x_j⩽0$,令$x_j^{{}^{\prime }}=-x_j$即可，显然$x_j^{{}^{\prime }}⩾0$
  如果无约束是自由变量可以：$x_j$=$x_j^{{}^{\prime }}-x_j^{{}^{\prime \prime }}$ ,$x_j^{{}^{\prime }}⩾0$,$x_j^{{}^{\prime \prime }}⩾0$

线性规划的典型建模：运输问题

运输问题：某物资有$m$个产地$A_1$,$A_2$…$A_m$,其产量分别为$a_1$,$a_2$…$a_m$;有$n$个销地$B_1$,$B_2$…$B_m$,其销量分别为$b_1$,$b_2$…$b_m$;从产地$A_i$到销地$B_j$的单位运价为$c_{ij}$,问怎样调运物资才能使得总运费最少？

数学模型的建立

设从$A_i$到销地$B_j$的运输量为$x_{ij}$则该问题的数学模型：
$$\begin{gathered} \min z=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}⩾b_j,j=1,2,...,n\\ {\sum }_{j=1}^n{x}_{ij}⩽a_i,i=1,2,...,m\\ x_{ij}⩾0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m\end{array} \end{gathered}$$
根据总供给量${\sum }_{i=1}^m{a}_i$和总需求量${\sum }_{j=1}^n{b}_j$之间的关系，可以将运输问题分为两类：
（1）当${\sum }_{i=1}^m{a}_i={\sum }_{j=1}^n{b}_j$，称为产销平衡运输问题
（2）当${\sum }_{i=1}^m{a}_i\ne {\sum }_{j=1}^n{b}_j$,称为产销不平衡运输问题

1. 产销平衡的运输问题数学模型建模为：
   $$\begin{gathered} \min z=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}=b_j,j=1,2,...,n\\ {\sum }_{j=1}^n{x}_{ij}=a_i,i=1,2,...,m\\ x_{ij}⩾0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m\end{array}\\ {\sum }_{i=1}^m{a}_i={\sum }_{j=1}^n{b}_j\end{array} \end{gathered}$$

2. 产销不平衡的运输问题
   2.1 产大于销：构造一个假象的销售地$B_{n+1}$，其需求量为总产量与总销量之差，即$$b_{n+1}=\sum _{i=1}^m{a}_i-\sum _{j=1}^n{b}_j$$
   $$c_{i,n+1}=0$$
   那么模型可改写为：
   $$\begin{gathered} \min z=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n+1}{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}=b_j,j=1,2,...,n+1\\ {\sum }_{j=1}^{n+1}{x}_{ij}=a_i,i=1,2,...,m\\ x_{ij}⩾0,j=1,2,...,n+1,i=1,2,...,m\end{array} \end{gathered}$$
   2.2销大于产：构造一个假想的产地$A_{m+1}$，其产量为总产量与总销量之差，即$$a_{m+1}=\sum _{j=1}^n{b}_j-\sum _{i=1}^m{a}_i$$
   $$c_{m+1,j}=0$$
   那么模型可改写为：
   $$\begin{gathered} \min z=\sum _{i=1}^{m+1}\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^{m+1}{x}_{ij}=b_j,j=1,2,...,n\\ {\sum }_{j=1}^n{x}_{ij}=a_i,i=1,2,...,m+1\\ x_{ij}⩾0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m+1\end{array} \end{gathered}$$

3. 有转运的运输问题
   实际生活中一个站点不可能只做输入输出，于是就存在了中转站。
   转运问题的思路是将其转化为产销平衡问题，为此假设最大可能中转量$Q$为某个大于等于总产量${\sum }_{i=1}^m{a}_i$的数，具有以下特点：
   （1）产销平衡时候：$$Q=\sum _{i=1}^m{a}_i=\sum _{j=1}^m{b}_j$$
   （2）纯中转站视为输入输出量为$Q$的一个产地和销地
   （3）兼中转站的产地$A_i$视为输入量为$Q-a_i$的销地和输出量为$Q$的产地
   （3）兼中转站的销地$B_j$视为输出量为$Q-b_j$的销地和输入量为$Q$的销地