题、证明，方程x-y+z=1具有无限多个正整数解(x，y，z)，其中x，y，z两两不同，且任意两个之积都被第三个整除。

 

分析与证明:假设方程的正整数解两两不同，并且任意两个之积都被第三个整除。即

x|yz，y|xz，z|xy。因此，yz=xa，xz=yb,xy=zc，a，b，c∈正整数。这样可得

(xyz)^2=xyzabc。由于xyz≠0，所以，

xyz=abc。把yz=xa，xz=yb,xy=zc，代入，得

x^2=bc，y^2=ac，z^2=ab。因为x>0，y>0，z>0，得

x=√(bc)，y=√(ac)，z=√(ab)。

如果令n=√a，m=√b，k=√c，那么，

x=mk，y=nk，z=nm。把x，y，z代入原方程，有

mk-nk+nm=1，→k(n-m)=nm-1。再令

n-m=1，那么，

k=m(m+1)-1=m^2+m-1。于是x=mK=m(m^2+m-1)，

y=nk=n(m^2+m-1)=(m+1)(m^2+m-1)，

z=nm=(m+1)m。这样x，y，z都用了参数m来表示，当m=2，3，4，…一切正整数时，x，y，z都满足方程。所以，原方程有无限多个正整数解。

(如m=1，x=1，y=z=2；不满足方程

m=2，x=10，y=15，z=6，满足方程。)(李扩继)