高等数学学习笔记 ☞ 无穷小与无穷大

1.  无穷小


1. 定义:若函数f(x)x\rightarrow x_{0}x\rightarrow \infty时的极限为零,那么称函数f(x)是当x\rightarrow x_{0}x\rightarrow \infty时的无穷小。

备注:

①:无穷小描述的是自变量x的变化过程中,函数值的变化趋势,绝不能认为无穷小是一个很小很小的数。

②:说无穷小时,必须要指明函数f(x)中的x的变化趋势。

③:常数0是唯一一个可以作为无穷小的常数。

2. 定理:

(1)\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A +\alpha,其中\alpha为无穷小。

(2)\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A +\alpha,其中\alpha为无穷小。


2.  无穷大


1. 定义:若函数f(x)x\rightarrow x_{0}x\rightarrow \infty时,其绝对值|f(x)|无限的增大,那么称函数f(x)是当x\rightarrow x_{0}x\rightarrow \infty时的无穷大。

备注:

①:无穷大并非一个数,更不能认为是一个很大很大的数。

②:无穷大包含正无穷大和负无穷大。

③:函数的极限可以为无穷大,记为:\lim_{}f(x) = \infty,但函数的极限为无穷大时,极限是不存在的。

2. 定理:

(1)若函数f(x)是无穷大,则\frac{1}{f(x)}是无穷小。

(2)若函数f(x)是无穷小,且f(x)\neq 0,则\frac{1}{f(x)}是无穷大。


3.  相关不正规知识点


(1)第一组:

  ①:\infty+\infty= 无结论             ②:\infty-\infty = 无结论               ③:\infty*\infty =\infty                    ④:\frac{\infty}{\infty }= 无结论

(2)第二组:

  ①:+\infty+(+\infty)=+\infty      ②:+\infty-(+\infty)= 无结论     ③:+\infty*(+\infty)=+\infty      ④:\frac{+\infty}{+\infty }= 无结论

(3)第三组:

  ①:-\infty+(-\infty)=-\infty      ②:-\infty-(-\infty)= 无结论     ③:-\infty*(-\infty)=+\infty      ④:\frac{-\infty}{-\infty }= 无结论

(4)第四组:若\alpha ,\beta均为无穷小,则:

  ①:\alpha +\beta= 无穷小                 ②:\alpha -\beta= 无穷小                  ③:\alpha *\beta= 无穷小                  ④:\frac{\alpha}{\beta}= 无结论


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