一. 创建连续时间的传递函数

$$G(s)=\frac{s^2+217s}{s^2+384s+8989}$$

二. 离散连续时间的传递函数G(s)

2.1 在matlab中用c2d函数双线性变换法离散G(s)，

下面是matlab脚本代码

% 创建连续时间传递函数
num = [1 217 0];
den = [1 384 8989];
sys_c = tf(num, den);
% 设置采样时间
Ts = 0.001;
% 离散化传递函数（使用 tustin 方法）
sys_d = c2d(sys_c, Ts, 'tustin');
sys_d
% 查看离散化后的传递函数
disp('离散化后的传递函数:');
disp(sys_d);

2.2 matlab命令行显示结果

运行上面脚本代码后，matlab命令行显示的结果如下图，得到离散传递函数为
$$H(z)=\frac{0.9282z^2-1.6747z+0.7465}{z^2-1.6709z+0.6785}$$

- z 的正幂形式

所有项均乘以最高次幂 $z^2$（即将负幂形式清理为正幂形式）
常用于标准传递函数表达中，这样便于与连续系统的形式类比
$$H(z)=\frac{0.9282z^2-1.6747z+0.7465}{z^2-1.6709z+0.6785}$$
- z 的负幂形式

所有项均除以最高次幂 $z^2$，即 $z^{-1}$ 表示一个采样时刻的延迟， $z^{-2}$ 表示两个采样时刻的延迟，
常用于传递函数的数字实现分析中，与差分方程直接相关
$$H(z)=\frac{0.9282-1.6747z^{-1}+0.7465z^{-2}}{1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}}$$

三. 求出离散传递函数H(z)的差分方程

离散传递函数的标准形式

$$H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}}$$
其中：

• Y(z) 和 𝑈(𝑧) 是输出和输入信号的 Z 变换

• $b_0$,$b_1$,$b_2$是传递函数分子（与输入信号的关系）

• $a_1$,$a_2$是传递函数分母（与输出信号的关系）

3.1 求解传递函数的负幂形式得到差分方程Y(z)

• 令

$$\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{0.9282-1.6747z^{-1}+0.7465z^{-2}}{1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}}$$

• 去掉分母

$$Y(z)\cdot (1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2})=U(z)\cdot (0.9282-1.6747z^{-1}+0.6785z^{-2})$$

• 左右两边同时展开

$$Y(z)-1.6709z^{-1}Y(z)+0.6785z^{-2}Y(z)=0.9282U(z)-1.6747z^{-1}U(z)+0.6785z^{-2}U(z)$$

• 移项得到Y(z)

$$Y(z)=0.9282U(z)-1.6747z^{-1}U(z)+0.6785z^{-2}U(z)+1.6709z^{-1}Y(z)-0.6785z^{-2}Y(z)$$

3.2 将$z^{-1}$表示为时域延迟

从Z-变换的性质，$z^{-1}$ 表示信号延迟一个采样周期（即𝑘 → 𝑘−1）因此

• $z^{-1}Y(z)$ 表示 $y[k-1]$

• $z^{-2}Y(z)$ 表示 $y[k-2]$

• 同理$z^{-1}U(z)$ 表示 $u[k-1]$，$z^{-2}U(z)$ 表示 $u[k-2]$

带入差分方程Y(z) 中的得到
$$Y(z)=0.9282u[k]-1.6747u[k-1]+0.6785u[k-2]+1.6709y[k-1]-0.6785y[k-2]$$

四. 差分方程Y(z) 的C代码实现

• u[k] ：本次输入值

• Y(z)：本次输出值

MCU代码中带入u[k] 时，需乘以采样周期Ts
$$Y(z)=0.9282u[k]-1.6747u[k-1]+0.6785u[k-2]+1.6709y[k-1]-0.6785y[k-2]$$