刷题计划day26 回溯（五）回溯止【N 皇后】【解数独】

⚡刷题计划day26 回溯（五）继续，回溯最后一个专题，今天的是hard题，也是比较经典的题型，可以点个免费的赞哦~

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目录

题目一：N 皇后

法一：简明版

回溯三部曲

法二：优化版

题目二：解数独

法一：简明版

回溯三部曲

法二：简明略优化版

法三：极致优化版

题目一：N 皇后

51. N 皇后

(https://leetcode.cn/problems/n-queens/description/)

n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二维矩阵还会有点不知所措。

首先来看一下皇后们的约束条件：

  1. 不能同行

  2. 不能同列

  3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面我用一个 3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

法一：简明版

回溯三部曲

1.递归函数参数

我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。

参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。

代码如下：

List<List<String>> res = new ArrayList<>();
void backatracking(int n,int row,char[][] chessboard)

2.递归终止条件

当递归到叶子节点，就可以收集结果返回了。

if(n==row){res.add(Array2List(chessboard));return;
}

3.单层搜索逻辑

递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。

每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

代码如下：

for(int i=0;i<n;i++){if(isValid(n,row,i,chessboard)){chessboard[row][i] = 'Q';backatracking(n,row+1,chessboard);chessboard[row][i] = '.';}
}

4.验证棋盘是否合法

按照如下标准去重：

  1. 不能同行

  2. 不能同列

  3. 不能同斜线 （45度和135度角）

代码如下：

public boolean isValid(int n,int row,int col,char[][] chessboard){// 检查列for(int i=row-1;i>=0;i--){if(chessboard[i][col]=='Q'){return false;}}// 检查45度对角线for(int i=row-1,j=col-1;i>=0 && j>=0;i--,j--){if(chessboard[i][j]=='Q'){return false;}}// 检查135度对角线for(int i=row-1,j=col+1;i>=0 && j<n;i--,j++){if(chessboard[i][j]=='Q'){return false;}}return true;}

在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？

因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了

完整代码：

class Solution {List<List<String>> res = new ArrayList<>();public List<List<String>> solveNQueens(int n) {char[][] chessboard = new char[n][n];for (char[] c : chessboard){Arrays.fill(c,'.');}backatracking(n,0,chessboard);return res;
​}public void backatracking(int n,int row,char[][] chessboard){if(n==row){res.add(Array2List(chessboard));return;}
​for(int i=0;i<n;i++){if(isValid(n,row,i,chessboard)){chessboard[row][i] = 'Q';backatracking(n,row+1,chessboard);chessboard[row][i] = '.';}}}
​public boolean isValid(int n,int row,int col,char[][] chessboard){// 检查列for(int i=row-1;i>=0;i--){if(chessboard[i][col]=='Q'){return false;}}// 检查45度对角线for(int i=row-1,j=col-1;i>=0 && j>=0;i--,j--){if(chessboard[i][j]=='Q'){return false;}}// 检查135度对角线for(int i=row-1,j=col+1;i>=0 && j<n;i--,j++){if(chessboard[i][j]=='Q'){return false;}}return true;}
​public List<String> Array2List(char[][] chessboard){List<String> list = new ArrayList<>();
​for(char[] c : chessboard){list.add(new String(c));}return list;}
}

我们可以发现关于验证棋盘是否合法时，我们用了三个for循环,3n的复杂度，好像不是很好，那我们能不能使用O(1)的复杂度来解决呢，答案是可以的，见法二

法二：优化版

主要优化部分就是验证棋盘是否合法：

对于棋盘，有以下的性质：

1.对于对于 ↗ 方向的格子，行号加列号是不变的。

2.对于 ↖ 方向的格子，行号减列号是不变的。

可以结合下列棋盘理解一下：

所以我们就可以使用三个辅助数组来标记之前皇后所在的行号列号，如下：

boolean[] isColChoose = new boolean[n];//代表第c列是否被选
boolean[] r_diag = new boolean[2*n-1];//代表右对角线是否有元素，r+c
boolean[] l_diag = new boolean[2*n-1];//代表左对角线是否有元素,r-c。
注意r-c对应的数组下标可能为负数，所以我们后面判断需要将r-c加上n-1，使其从0开始。

完整代码如下：

class Solution {List<List<String>> res = new ArrayList<>();public List<List<String>> solveNQueens(int n) {char[][] chessboard = new char[n][n];boolean[] isColChoose = new boolean[n];//代表第c列是否被选boolean[] r_diag = new boolean[2*n-1];//代表右对角线是否有元素，r+cboolean[] l_diag = new boolean[2*n-1];//代表左对角线是否有元素,,r-cfor(char[] c : chessboard){Arrays.fill(c,'.');}bcaktracking(n,0,chessboard,isColChoose,r_diag,l_diag);return res;
​}public void bcaktracking(int n,int row,char[][] chessboard,boolean[] isColChoose,boolean[] r_diag,boolean[] l_diag){if(row==n){res.add(charToListString(chessboard));return;}
​for(int col=0;col<n;col++){if(!isColChoose[col] && !r_diag[row+col] && !l_diag[row-col+n-1]){chessboard[row][col]='Q';isColChoose[col]=true;r_diag[row+col]=true;l_diag[row-col+n-1]=true;bcaktracking(n,row+1,chessboard,isColChoose,r_diag,l_diag);//回溯chessboard[row][col]='.';isColChoose[col]=false;r_diag[row+col]=false;l_diag[row-col+n-1]=false;}}}
​
​public List<String> charToListString(char[][] chessboard){List<String> path = new ArrayList<>();for (char[] c : chessboard){path.add(String.copyValueOf(c));}return path;}

题目二：解数独

37. 解数独

(https://leetcode.cn/problems/sudoku-solver/description/)

本题建议先做一下n皇后问题，

本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：

法一：简明版

回溯三部曲

1.递归函数以及参数

递归函数的返回值需要是bool类型，为什么呢？

因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。

boolean backtracking(char[][] board)

2.递归终止条件

本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。

不用终止条件会不会死循环？

递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！

那么有没有永远填不满的情况呢？

这个问题我在递归单层搜索逻辑里再来讲！

3.递归单层搜索逻辑

在树形图中可以看出我们需要的是一个二维的递归 （一行一列）

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

代码如下，详见注释：

public boolean backtracking(char[][] board){for(int i=0;i<board.length;i++){// 遍历行for(int j=0;j<board[0].length;j++){// 遍历列if(board[i][j]!='.'){continue;}for(char k='1';k<='9';k++){if(isValid(i,j,k,board)){board[i][j]=k;// 放置kif(backtracking(board)){return true; // 如果找到合适一组立刻返回}board[i][j]='.';}}return false; // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false}}return true;// 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了}

4.判断棋盘是否合法

判断棋盘是否合法有如下三个维度：

  • 同行是否重复

  • 同列是否重复

  • 9宫格里是否重复

代码如下：

public boolean isValid(int row,int col,char val,char[][] board){//行for(int i=0;i<9;i++){if(board[row][i]==val){return false;}}//列for(int j=0;j<9;j++){if(board[j][col]==val){return false;}}//九宫格int startRow = row/3*3;int startCol = col/3*3;for(int i=startRow;i<startRow+3;i++){for(int j=startCol;j<startCol+3;j++){if(board[i][j]==val){return false;}}}return true;
}

整体代码如下：

class Solution {public void solveSudoku(char[][] board) {backtracking(board);}public boolean backtracking(char[][] board){
​for(int i=0;i<board.length;i++){for(int j=0;j<board[0].length;j++){if(board[i][j]!='.'){continue;}for(char k='1';k<='9';k++){if(isValid(i,j,k,board)){board[i][j]=k;if(backtracking(board)){return true;}board[i][j]='.';}}return false;
​}}return true;}
​public boolean isValid(int row,int col,char val,char[][] board){//行for(int i=0;i<9;i++){if(board[row][i]==val){return false;}}//列for(int j=0;j<9;j++){if(board[j][col]==val){return false;}}//九宫格int startRow = row/3*3;int startCol = col/3*3;for(int i=startRow;i<startRow+3;i++){for(int j=startCol;j<startCol+3;j++){if(board[i][j]==val){return false;}}}return true;}
}

法二：简明略优化版

上面做了n皇后问题，很显然我们也可以使用之前法二的辅助数组来优化，直接详细见代码注释。

额外说一下关于九宫格的判断，可能很多同学开始很难理解为什么int k = row/3*3 + col/3;这样就可以判断是哪一个九宫格，网上也没有看到有题解有对其进行了较直观详细的解释，

可以理解理解这段话再加上图就很清晰了：

i / 3 得到行索引，然后乘以3是因为每个小格子有3列，这样可以得到当前行索引对应的小格子的起始列索引。然后，加上 j / 3 就可以得到当前元素在九宫格中的确切位置。比如以第一列的4，带进去算一下就明白了。

class Solution {public void solveSudoku(char[][] board) {boolean[][] isRow = new boolean[9][9];boolean[][] isCol = new boolean[9][9];boolean[][] isSquare9 = new boolean[9][9];//初始化for(int row=0;row<9;row++){for(int col=0;col<9;col++) {if(board[row][col]=='.'){continue;}int num = board[row][col]-'1';//数字从0开始，如果减0就是原数，但是构造二维数组就是new boolean[9][10];int k = row/3*3 + col/3;isRow[row][num]=true;isCol[col][num]=true;isSquare9[k][num]=true;//i / 3 得到行索引，然后乘以3是因为每个小格子有3列，这样可以得到当前行索引对应的小格子的起始列索引。然后，加上 j / 3 就可以得到当前元素在九宫格中的确切位置。}}
​backtracking(board,0,isRow,isCol,isSquare9);}public boolean backtracking(char[][] board,int n,boolean[][] isRow,boolean[][] isCol,boolean[][] isSquare9){
​if(n==81) return true;int i=n/9,j=n%9;if(board[i][j] != '.'){return backtracking(board,n+1,isRow,isCol,isSquare9);}int k = i/3*3+j/3;for(int num=0;num<9;num++){if(isRow[i][num] || isCol[j][num] || isSquare9[k][num]) continue;board[i][j] = (char) (num+'1');isRow[i][num]=isCol[j][num]=isSquare9[k][num]=true;if(backtracking(board,n+1,isRow,isCol,isSquare9)) return true;isRow[i][num]=isCol[j][num]=isSquare9[k][num]=false;
​}board[i][j] = '.';return false;}
}

法三：极致优化版

这个方法比较难理解，时间充裕的同学可以尝试尝试，来自leetcode题解，代码及注释如下：

class Solution {// 二进制中1表示 对应位置已经有值了private int[] rows = new int[9];private int[] cols = new int[9];private int[][] cells = new int[3][3];public void solveSudoku(char[][] board) {int cnt = 0;for(int i=0; i<board.length; i++){for(int j=0; j<board[i].length; j++){char c = board[i][j];if(c == '.'){cnt++;}else{int n = c - '1';// rows[i] |= (1 << n);// cols[j] |= (1 << n);// cells[i/3][j/3] |= (1 << n);fillNumber(i, j, n, true);}}}backtrace(board, cnt);}
​private boolean backtrace(char[][] board, int cnt){if(cnt == 0){return true;}// 获取当前 候选项最少（即限制最多）的格子下标int[] pos = getMinOkMaskCountPos(board);int x = pos[0], y = pos[1];// okMask 值为1的 位 表示 对应的数字 当前可以填入int okMask = getOkMask(x, y);
​for(char c='1'; c<='9'; c++){int index = c - '1';if(testMask(okMask, index)){fillNumber(x, y, index, true);board[x][y] = c;if(backtrace(board, cnt-1)) return true; // 题目假定唯一解board[x][y] = '.';fillNumber(x, y, index, false); }}
​return false;}
​// n 0..8private void fillNumber(int x, int y, int n, boolean fill){// 因为回溯先选择后撤销，所以fill先true后false, false时对应位置一定是1，所以异或可行// rows[x] = fill ? rows[x] | (1<<n) : rows[x] ^ (1<<n);// cols[y] = fill ? cols[y] | (1<<n) : cols[y] ^ (1<<n);// cells[x/3][y/3] = fill ? cells[x/3][y/3] | (1<<n) : cells[x/3][y/3] ^ (1<<n);
​// ture set 1, false set 0rows[x] = fill ? rows[x] | (1<<n) : rows[x] & ~(1<<n);cols[y] = fill ? cols[y] | (1<<n) : cols[y] & ~(1<<n);cells[x/3][y/3] = fill ? cells[x/3][y/3] | (1<<n) : cells[x/3][y/3] & ~(1<<n);}
​private int getOkMask(int x, int y){return ~(rows[x] | cols[y] | cells[x/3][y/3]);}
​// mask 二进制 低9位 中 1的个数private int getOneCountInMask(int mask){int res = 0;for(int i=0; i<9; i++){int test = 1 << i;if((mask & test) != 0){res++;}}return res;}
​// mask 二进制 低index位 是否为 1private boolean testMask(int mask, int index){return (mask & (1 << index)) != 0;}
​// 获取候选项最少的位置private int[] getMinOkMaskCountPos(char[][] board){int[] res = new int[2];int min = 10;for(int i=0; i<board.length; i++){for(int j=0; j<board[i].length; j++){if(board[i][j] == '.'){int okMask = getOkMask(i, j);int count = getOneCountInMask(okMask);if(count < min){min = count;res[0] = i;res[1] = j;}}}}return res;}
}

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