正则化参数的选择对偏差和方差的影响

用一个四阶多项式，要用正则化拟合这个模型，这里的lambda的值是正则化参数，它控制着你交易的金额，保持参数w与训练数据拟合，从将lambda设置为非常大的值的示例开始，例如，lambda=10000，如果这样做，你最终会安装一个大致像这样的模型，因为lambda非常大，然后算法被高度激励以保持这些参数w非常小，所以你最终得到W1，W2，实际上，所有这些参数都非常接近于零，所以这个模型的结果是f(x)近似为一个常数，这就是为什么最终会有这样一个模型，这个模型显然有很高的偏差，它不符合训练数据，因为它在训练场上表现都不好，而且Jtrain很大，来看一下另一个极端，假设你设定了lambda是一个非常小的值，所以用一个很小的值，把lambda设置为零的极端，选择lambda，没有正规化，所以我们只是拟合了一个四次多项式，没有正规化，最终看到的就是蓝色的曲线，太符合数据了，所以我们之前看到的是当你有一个这样的模型，Jtrain很小，但是Jcv比Jtrain大得多，这表明我们有很高的方差，它超过了这个数据，如果有一个lambda中间值，不是很大，看起来的模型就会恰到好处，与数据很吻合，Jtrain和Jcv都很小，所以如果你试图决定lambda的什么值用于正规化，参数交叉验证也为你提供了一种方法。

如果你拟合一个四阶多项式，这就是模型，你使用正则化，怎样才能选择一个好的值lambda?

这将是一个程序，类似于你所看到的选择多项式d的次数，专门使用交叉验证，假设我们试图用lambda=0拟合一个数据，所以用lambda=0最小化成本函数，最后得到一些参数，然后可以计算交叉验证错误，现在尝试一个不同的值，假设lambda=0.01，最小化成本函数会给你第二组参数，还可以看到它在交叉验证集上做得有多好，继续尝试lambda的其他值，以此类推，通过尝试lambda拟合参数的一个大范围的可能值，使用这些不同的调节函数，然后在交叉验证集上评估性能，然后，可以尝试选择正则化参数的最佳值，具体而言，如果在这个例子中，如果发现B5值最低，所以就用W5B5作为选择参数，最后，如果你想报告广义误差的估计，然后，你将报告W5B5的测试集错误j测试。

为了进一步了解这个算法在做什么，让我们来看看训练错误和交叉验证错误是如何变化的？

作为参数lambda的函数，在这个图中，又改变了x轴，改为正则化参数lambda值。看左边lambda=0的极值，这对应于不使用任何正则化，如果lambda很小或者为0，我们以这个非常摆动的曲线结束的地方，在这种情况下，我们有一个高方差模型，所以Jtrain会很小，Jcv会很大，因为它在训练数据上做得很好，但在交叉验证数据上做得更糟，右边这个极值有非常大的lambda值，假设lambda=10000，最后把一个看起来像那样的模型，所以这个有很高的偏差，它与数据不符，结果是Jtrain会很高，Jcv也会很高，实际上如果你看Jtrain是如何随着lambda函数变化的，你会发现Jtrain会这样上去，因为在优化费用函数中，较大的lambda算法越是试图保持w的平方越小，那就是给予这个正则化术语的权重就越大，而左边的项是Jtrain，所以更多的是试图保持参数较小，它在最大限度地减少训练错误方面做得越差，所以只要增加训练误差，Jtrain会像现在这样增加，结果交叉验证错误是这样的（绿线），因为我们已经看到，如果lambda太大或太小，那么它在交叉验证集上做得不好，它要么在左边合适，或者在右边，会有一些lambda的中间值，使算法执行的更好，交叉验证所做的是尝试很多不同的lambda值，并评估交叉验证误差在许多这些不同的点，然后希望选择一个交叉验证误差低的值，这将会为应用程序提供一个良好的模型。其中横轴是多项式的度，这两个图看起来有点不符合数学，也不是以任何正式的方式，这是因为当你拟合一个多项式的度数时，这条曲线的左边对应于过拟合和高偏差，右部分对应欠拟合和高方差，左边是高方差，右边是高偏差。