矩阵逆引理证明、应用

  矩阵求逆引理要解决的问题是：减少矩阵求逆的计算量。已知一个矩阵$A$及其逆矩阵$A^{-1}$，当矩阵产生了变化时，例如增加一个扰动$P$，能不能根据已知的逆矩阵$A^{-1}$，求产生变化后的矩阵的逆$A^{\prime -1}=(A+E{)}^{-1}$。这里说的扰动$P$可以分解为$P=B{D}^{-1}C$，其中：

• $A$为$n\times n$矩阵
• $B$为$n\times m$矩阵
• $C$为$m\times n$矩阵
• $D$为$m\times m$矩阵

证明

令$X$为$A^{\prime -1}$相对于$A^{-1}$的变化量，有如下等式成立：
$$A^{-1}+X=(A+P{)}^{-1}=(A+B{D}^{-1}C{)}^{-1}$$

应用

以三阶矩阵求逆为例：

三阶矩阵求逆其实没必要用逆引理，矩阵维度变高后，例如1000x1000，利用逆引理可以加快求逆。

对比结果

$A$及$A^{-1}$

$A^{\prime }$及$A^{\prime -1}$