【矩阵的大小和方向的分解】

  • “大小”:在特征值分解和奇异值分解中,矩阵的“大小”通常由特征值或者奇异值表示,它们描述了矩阵在不同方向上拉伸或压缩的程度。
  • “方向”:特征向量和奇异值分解中的方向矩阵 ( U ) 和 ( V ) 则描述了矩阵作用下空间中各个方向的变化。

矩阵分解的思想是通过将一个矩阵分解成多个较小的矩阵,这些较小的矩阵的乘积可以恢复原矩阵。在这种分解中,矩阵的大小和方向(或者说是其构成的性质)经常会显现出来。通过分解矩阵,我们可以揭示其内在结构,并在许多领域中应用这一思想,如线性代数、计算机科学、物理学等。

举例说明:矩阵的大小和方向的分解

假设我们有一个矩阵 ( A ),它是一个 ( 3 \times 3 ) 的矩阵:

A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A= 147258369

1. 特征值分解(Eigenvalue Decomposition)

特征值分解是线性代数中的一种重要分解方法。每个方阵都可以分解为一组特征值和特征向量的乘积。特征值分解揭示了矩阵的“大小”和“方向”信息。

特征值分解的形式为:
A = V Λ V − 1 A = V \Lambda V^{-1} A=VΛV1
其中 ( V ) 是包含特征向量的矩阵, ( \Lambda ) 是一个对角矩阵,包含特征值。

在这个例子中,如果我们对矩阵 ( A ) 进行特征值分解,假设得到了以下结果:
V = [ − 0.2319 0.7859 − 0.5745 − 0.5257 0.0868 0.8504 − 0.8180 − 0.6123 − 0.2106 ] , Λ = [ 16.1168 0 0 0 − 1.1168 0 0 0 0 ] V = \begin{bmatrix} -0.2319 & 0.7859 & -0.5745 \\ -0.5257 & 0.0868 & 0.8504 \\ -0.8180 & -0.6123 & -0.2106 \end{bmatrix}, \quad \Lambda = \begin{bmatrix} 16.1168 & 0 & 0 \\ 0 & -1.1168 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} V= 0.23190.52570.81800.78590.08680.61230.57450.85040.2106 ,Λ= 16.11680001.11680000

从中我们可以看到:

  • ( Λ \Lambda Λ ) 中的特征值 ( 16.1168 ),( -1.1168 ) 和 ( 0 ) 描述了矩阵的“大小”,即矩阵作用下空间的缩放程度。
  • ( V ) 中的列向量是矩阵 ( A ) 的特征向量,它们对应的方向是空间中的“方向”。这些特征向量表示在矩阵 ( A ) 的作用下,空间的伸缩方向。

所以,矩阵 ( A ) 的分解告诉我们如何将原矩阵 ( A ) 转换为基于特征向量的新坐标系,这样可以更直观地理解矩阵如何作用在空间中的“方向”和“大小”上。

2. 奇异值分解(SVD)

奇异值分解(Singular Value Decomposition)是另一种常用的矩阵分解方法,它能将一个任意的矩阵分解成三个矩阵的乘积,揭示矩阵在“大小”和“方向”上的变化。

奇异值分解的形式为:
A = U Σ V T A = U \Sigma V^T A=UΣVT
其中:

  • ( U ) 和 ( V ) 是正交矩阵,包含了矩阵的“方向”信息;
  • Σ \Sigma Σ 是一个对角矩阵,包含了奇异值,表示矩阵的“大小”信息。

以矩阵 ( A ) 为例,我们对其进行奇异值分解,可能得到如下结果:
U = [ − 0.2148 − 0.8872 0.4082 − 0.5206 − 0.3162 − 0.7894 − 0.8265 0.3348 0.4517 ] , Σ = [ 16.8481 0 0 0 1.0684 0 0 0 0 ] , V T = [ − 0.4797 − 0.5724 − 0.6651 − 0.7767 − 0.0753 0.6252 − 0.4082 0.8165 − 0.4082 ] U = \begin{bmatrix} -0.2148 & -0.8872 & 0.4082 \\ -0.5206 & -0.3162 & -0.7894 \\ -0.8265 & 0.3348 & 0.4517 \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} 16.8481 & 0 & 0 \\ 0 & 1.0684 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad V^T = \begin{bmatrix} -0.4797 & -0.5724 & -0.6651 \\ -0.7767 & -0.0753 & 0.6252 \\ -0.4082 & 0.8165 & -0.4082 \end{bmatrix} U= 0.21480.52060.82650.88720.31620.33480.40820.78940.4517 ,Σ= 16.84810001.06840000 ,VT= 0.47970.77670.40820.57240.07530.81650.66510.62520.4082

从中我们可以解读出:

  • ( \Sigma ) 中的奇异值(如 ( 16.8481 ) 和 ( 1.0684 ))代表了矩阵在不同方向上的缩放因子,它们反映了矩阵作用下空间的“大小”变化。
  • ( U ) 和 ( V ) 中的列向量分别代表了原矩阵在输入和输出空间中的“方向”向量。

通过奇异值分解,我们可以更清楚地看到矩阵对输入数据的影响:它通过“缩放”(奇异值)和“旋转”(方向矩阵 ( U ) 和 ( V ))来改变空间。

总结

  • “大小”:在特征值分解和奇异值分解中,矩阵的“大小”通常由特征值或者奇异值表示,它们描述了矩阵在不同方向上拉伸或压缩的程度。
  • “方向”:特征向量和奇异值分解中的方向矩阵 ( U ) 和 ( V ) 则描述了矩阵作用下空间中各个方向的变化。

这种分解方法不仅有助于理解矩阵的结构,还能在许多应用中提供计算优化和理论上的深刻洞察。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/pingmian/59372.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

【AIGC】如何充分利用ChatGPT:有效提示框架与基本规则

概述 在使用ChatGPT进行内容创作时,遵循结构化的提示框架和基本规则可以显著提升AI响应的质量。本文探讨了五种结构化的提示框架,并详细介绍了基本规则和进阶技巧,帮助您更有效地与ChatGPT互动。 基础规则 规则1:指令放在开头&…

高级信号完整性

高级信号完整性,2022年版,1473页,24h秒发 内容庞大,都是新的内容、架构 QS排名100内的美国高校课件 发货内容: 29个分章节PDF 1个汇总PDF,1473页 点击获取 课程首先对电磁学进行了回顾。随后,…

yelp数据集上识别潜在的热门商家

yelp数据集是研究B2C业态的一个很好的数据集,要识别潜在的热门商家是一个多维度的分析过程,涉及用户行为、商家特征和社区结构等多个因素。从yelp数据集里我们可以挖掘到下面信息有助于识别热门商家 用户评分和评论分析 评分均值: 商家的平均评分是反映其…

qt QDataStream详解

1. 概述 QDataStream是Qt框架中的一个核心类,主要用于处理二进制数据的序列化和反序列化。它提供了高效、跨平台的方式,将C数据结构转化为字节流,便于在网络传输、持久化存储等场景下使用。QDataStream可以处理包括整数、浮点数、布尔值、字…

使用Spring Validation实现数据校验详解

目录 前言1. Spring Validation概述2. 配置Spring Validation2.1 引入依赖2.2 启用全局校验 3. 使用注解进行参数校验3.1 基本校验注解3.2 使用Pattern进行正则校验3.3 综合示例 4. 在控制器层应用校验4.1 方法参数校验4.2 自定义错误处理 5. 高级应用:自定义校验注…

链表(C 语言)

目录 一、链表的概念1. 链表的结构2. 链表的分类3. 链表的优势 二、链表的实现1. 无头单项非循环链表的实现1.1 代码说明 2. 带头双向循环链表的实现2.1 代码说明 三、链表和顺序表的区别四、链表总结 一、链表的概念 链表是一种顺序表,它由一个一个的节点组成&…

写文件回前端进行下载,报错:原因:CORS 头缺少 ‘Access-Control-Allow-Origin‘)

后端写文件返回前端&#xff0c;出现该错误。 解决 设置允许跨域 response.setHeader("Access-Control-Allow-Origin", "*"); 代码 后端 public void exportTemplate(HttpServletResponse response) { ArrayList<ActiveGifts> activeGifts new…

关注AI技术的应用前景,抓住未来科技发展的机遇!

在当今这个快速发展的时代&#xff0c;人工智能&#xff08;AI&#xff09;技术正以惊人的速度改变着我们的生活和工作方式。无论是在医疗、金融、教育还是制造业&#xff0c;AI的应用都在不断扩展&#xff0c;带来前所未有的机遇和挑战。关注AI技术的应用前景&#xff0c;不仅…

QinQ的基础实验

拓扑 命令 LSW1 [LSW1]vlan batch 2 3 4 Info: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment...done. [LSW1]interface g0/0/1 [LSW1-GigabitEthernet0/0/1]port link-type hybrid [LSW1-GigabitEthernet0/0/1]port hybrid untagged vlan 2 3 [LSW…

python-读写Excel:openpyxl-(4)下拉选项设置

使用openpyxl库的DataValidation对象方法可添加下拉选择列表。 DataValidation参数说明&#xff1a; type&#xff1a; 数据类型("whole", "decimal", "list", "date", "time", "textLength", "custom"…

Elasticsearch中时间字段格式用法详解

Elasticsearch中时间字段格式用法详解 攻城狮Jozz关注IP属地: 北京 2024.03.18 16:27:51字数 758阅读 2,571 Elasticsearch&#xff08;简称ES&#xff09;是一个基于Lucene构建的开源、分布式、RESTful搜索引擎。它提供了全文搜索、结构化搜索以及分析等功能&#xff0c;广泛…

【JavaEE初阶 — 多线程】Thread的常见构造方法&属性

目录 Thread类的属性 1.Thread 的常见构造方法 2.Thread 的几个常见属性 2.1 前台线程与后台线程 2.2 setDaemon() 2.3 isAlive() Thread类的属性 Thread 类是JVM 用来管理线程的一个类&#xff0c;换句话说&#xff0c;每个线程都有一个唯一的Thread 对象与之关联&am…

论文阅读笔记:DRCT: Saving Image Super-Resolution away from Information Bottleneck

论文阅读笔记&#xff1a;DRCT: Saving Image Super-Resolution away from Information Bottleneck 1 背景1.1 问题1.2 本文提出的方法 2 创新点3 方法4 模块4.1 问题描述4.2 深度特征提取模块4.3 同任务渐进式训练策略 5 效果5.1 和SOTA方法对比 论文&#xff1a;https://arxi…

基于STM32的智能空气净化器设计

引言 本项目基于STM32微控制器设计了一个智能空气净化器&#xff0c;通过集成多个传感器模块和Wi-Fi模块&#xff0c;实现空气质量监测、净化以及远程控制功能。该系统可以实时检测环境中的空气质量&#xff0c;如PM2.5浓度、温湿度和有害气体浓度等&#xff0c;根据监测到的空…

Linux 无名管道

无名管道&#xff08;unnamed pipe&#xff09;是一种进程间通信的方式&#xff0c;通常用于父子进程之间的通信。下面是使用无名管道的基本步骤&#xff1a; pipe 调用的返回值如下&#xff1a; 成功时&#xff1a;pipe 调用成功时返回 0。失败时&#xff1a;如果 pipe 调用…

OpenHarmony与Android区别

OpenHarmony和Android是两种不同的操作系统&#xff0c;它们在设计理念、架构、技术特点以及应用场景上都有显著的区别。 是它们之间的主要区别&#xff1a; 1. 起源和所有权 Android&#xff1a;由谷歌公司开发并拥有&#xff0c;是一个广泛使用的开源操作系统&#xff0c;…

数据结构 —— 红黑树

目录 1. 初识红黑树 1.1 红黑树的概念 1.2 红⿊树的规则 1.3 红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍 1.4 红黑树的效率:O(logN) 2. 红黑树的实现 2.1 红黑树的基础结构框架 2.2 红黑树的插⼊ 2.2.1 情况1&#xff1a;变色 2.2.2 情况2&#xff1a;单旋变色 2.2…

健身房数字化转型:SpringBoot管理系统

4系统概要设计 4.1概述 本系统采用B/S结构(Browser/Server,浏览器/服务器结构)和基于Web服务两种模式&#xff0c;是一个适用于Internet环境下的模型结构。只要用户能连上Internet,便可以在任何时间、任何地点使用。系统工作原理图如图4-1所示&#xff1a; 图4-1系统工作原理…

字符串相乘(全网最快0ms方法)

一&#xff1a;题目 二&#xff1a;思路 解释&#xff1a;每次相乘的结果不进位直接放进同一个数组里&#xff0c;相同位置则新放进的结果即可&#xff0c;最后得到左图的数组&#xff0c;再对其进行进位&#xff0c;得到正确的结果 Q1&#xff1a;数组的大小取多少&#xff1…

深入浅出:解读注意力机制,让神经网络更“聪明”

1. Attention Mechanism 深入浅出&#xff1a;解读注意力机制&#xff0c;让神经网络更“聪明” 在现代人工智能中&#xff0c;注意力机制&#xff08;Attention Mechanism&#xff09; 是解锁神经网络强大表现的关键&#xff0c;尤其是对于像 Transformer 和 BERT 这样的前沿…