《数字信号处理》学习09-部分分式展开法计算z 逆变换

在之前的文章中，我已经学习了使用留数法（围线积分法）来计算z逆变换

《数字信号处理》学习08-围线积分法（留数法）计算z 逆变换-CSDN博客

接着学习第二种计算z变换的方法：部分分式展开法。

一，部分分式展开法的相关概念

二，习题

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一，部分分式展开法的相关概念

一个离散时间系统，其输入序列 $x(n)$ 和输出序列 $y(n)$ 之间的关系可以通过线性常系数差分方程表示：

$y(n)+\sum_{i=1}^{N}a_{i}y(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_{i}x(n-i)$

现在对两边同时进行z变换，需要注意的是在时域上的延迟 $i$ 单位对应的z域上乘上 $z^{-i}$ ，如下：

$Z[y(n)]=Y(z)$

$Z[y(n-i)]=Y(z)z^{-i}$

$Z[x(n-i)]=X(z)z^{-i}$ // 因此，差分方程 $y(n)+\sum_{i=1}^{N}a_{i}y(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_{i}x(n-i)$ 的z变换如下：

$Y(z)+\sum_{i=1}^{N}a_{i}Y(z)z^{-i}=\sum_{i=0}^{M}b_{i}X(z)z^{-i}$

// 自变量为i， $X(z)$ 和 $Y(z)$ 可以看成常数提出来

$Y(z)+Y(z)\sum_{i=1}^{N}a_{i}z^{-i}=X(z)\sum_{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}$

// 对 $Y(z)$ 进行合并同类项

$Y(z)(1+\sum_{i=1}^{N}a_{i}z^{-i})=X(z)\sum_{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}$

// 移项得到传输函数 $H(z)$

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}= \frac{\sum_{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}}{1+\sum_{i=1}^{N}a_{i}z^{-i}}$

x(z)的z变换和传输函数H(z)的公式类似，当 $X(z)$ 是z的有理分式时，一般可以表示为：

$X(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{\sum_{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}}{1+\sum_{i=0}^{N}a_{i}z^{-i}}=X_{1}(z)+X_{2}(z)+X_{3}(z)+...+X_{k}(z)$

其中， $A(z)$ 和 $B(z)$ 是z的实数系数多项式，且没有公因式，则可以将 $X(z)$ 展开成上述部分分式的形式。之后只需要对每一个部分分式求z逆变换，最后将各个z逆变换相加就是所求的原序列 $x(n)$

二，习题

习题1：

使用部分分式法计算z逆变换，如下题

解：
1）由题可得

$X(z)=\frac{3-\frac{5}{6}z^{-1}}{(1-\frac{1}{4}z^{-1})(1-\frac{1}{3}z^{-1})}$

= $\frac{z(3z-\frac{5}{6})}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}$

令 $\frac{X(z)}{z}=$ $\frac{(3z-\frac{5}{6})}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}$ $=\frac{A}{z-\frac{1}{3}}+\frac{B}{z-\frac{1}{4}}$

// 使用之前的留数法，将待定系数 $A$ 和 $B$ 求出来（注：这里用留数法只求系数，不求原序列 $x(n)$ ）

$A|_{z=\frac{1}{3}}$

= $(z-\frac{1}{3})\frac{X(z)}{z}|_{z=\frac{1}{3}}$

= $(z-\frac{1}{3})\frac{3z-\frac{5}{6}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}|_{z=\frac{1}{3}}$

= $\frac{3z-\frac{5}{6}}{(z-\frac{1}{4})}|_{z=\frac{1}{3}}$

= $\frac{\frac{12}{12}-\frac{10}{12}}{\frac{4}{12}-\frac{3}{12}}$

= $\frac{\frac{2}{12}}{\frac{1}{12}}$

= $2$

$B|_{z=\frac{1}{4}}$

= $(z-\frac{1}{4})\frac{X(z)}{z}|_{z=\frac{1}{4}}$

= $(z-\frac{1}{4})\frac{3z-\frac{5}{6}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}|_{z=\frac{1}{4}}$

= $\frac{3z-\frac{5}{6}}{(z-\frac{1}{3})}|_{z=\frac{1}{4}}$

= $\frac{\frac{9}{12}-\frac{10}{12}}{\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}$

= $\frac{\frac{-1}{12}}{\frac{-1}{12}}$

= $1$

$\frac{X(z)}{z}=\frac{2}{z-\frac{1}{3}}+\frac{1}{z-\frac{1}{4}}$

则 $X(z)==\frac{2z}{z-\frac{1}{3}}+\frac{z}{z-\frac{1}{4}}$

∵ 题目要求z变换的收敛为 $|z|>\frac{1}{3}$ ，右边序列，且该序列为因果序列

又∵参照z变换表

∴收敛域为 $|z|>\frac{1}{3}$ 时，对应的原序列 $x(n)=2\cdot (\frac{1}{3})^{n}u(n)+ (\frac{1}{4})^{n}u(n)$

2）

∵ 由题 1）得 $X(z)==\frac{2z}{z-\frac{1}{3}}+\frac{z}{z-\frac{1}{4}}$

又∵ 题目要求z变换的收敛为 $\frac{1}{4}<|z|<\frac{1}{3}$ ，双边序列

∴ 查表可知

当 $\frac{1}{4}<|z|$ 时， $x(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{4}}$ 对应的原序列为右边序列 $x(n)=(\frac{1}{4})^{n}u(n)$ ，

当 $|z|<\frac{1}{3}$ 时， $x(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{3}}$ 对应的原序列为左边序列 $x(n)=-2(\frac{1}{3})^{n}u(-n-1)$

// 左边序列z变换的原序列查表可知

∴综上收敛域为 $\frac{1}{4}<|z|<\frac{1}{3}$ 时，对应的原序列 $x(n)=(\frac{1}{4})^{n}u(n)-2(\frac{1}{3})^{n}u(-n-1)$

3）

∵ 由题 1）得 $X(z)=\frac{2z}{z-\frac{1}{3}}+\frac{z}{z-\frac{1}{4}}$

又∵ 题目要求z变换的收敛为 $|z|<\frac{1}{3}$ ，序列为左边序列

∴ 查表可知

∴ 收敛为 $|z|<\frac{1}{3}$ 时，原序列 $x(n)=-(\frac{1}{4})^{n}u(-n-1)-2(\frac{1}{3})^{n}u(-n-1)$

习题2

已知 $X(z)=\frac{-3z^{-1}}{2-5z^{-1}+2z^{-2}}$ ，分别求：

1）收敛域 $0.5<|z|<2$ 对应的原序列 $x(n)$

2）收敛域 $|z|>2$ 对应的原序列 $x(n)$

解：

1）

// 使用十字相乘法将分母简化成可以知道极点的形式

$X(z)=\frac{-3z^{-1}}{2-5z^{-1}+2z^{-2}}$ // 上下同乘 $z^{2}$ ，分式大小不变

= $\frac{-3z}{(2z-1)(z-2)}$ // 分母十字相乘法

∵ $\frac{X(z)}{z}=\frac{-3}{(2z-1)(z-2)}=(\frac{A}{z-0.5}+\frac{B}{z-2})$

// 使用之前的留数法，将待定系数 $A$ 和 $B$ 求出来（注：这里用留数法只求系数，不求原序列 $x(n)$ ）

$A|_{z=\frac{1}{2}}$

= $(z-\frac{1}{2})\frac{X(z)}{z}|_{z=\frac{1}{2}}$

= $(z-\frac{1}{2})\cdot(\frac{-3}{2(z-\frac{1}{2})(z-2)})|_{z=\frac{1}{2}}$

= $\frac{-3}{z-2}|_{z=\frac{1}{2}}$

= $2$

$B|_{z=2}$

= $(z-2)\frac{X(z)}{z}|_{z=2}$

= $(z-2)\cdot(\frac{-3}{(2z-1)(z-2)})|_{z=2}$

= $\frac{-3}{2z-1}|_{z=2}$

= $-1$

∴ $X(z)=\frac{z}{z-0.5}-\frac{z}{z-2}$

∵ 题目要求z变换的收敛为 $0.5<|z|<2$ ，序列为双边序列

当 $0.5<|z|$ 时，对应的原序列为右边序列 $x(n)=(\frac{1}{2})^{n}u(n)$

当 $|z|<2$ 时，对应的原序列为左边序列 $x(n)=-2^{n}u(-n-1)$

综上，收敛域为 $0.5<|z|<2$ 时的原序列 $x(n)=2^{-n}u(n)+2^{n}u(-n-1)$

或写成 $x(n)=2^{-|n|}$ ，其中 $_{n<0,x(n)=2^{n}}^{n>=0,x(n)=2^{-n}}$

2）收敛域 $|z|>2$ 对应的原序列 $x(n)$ 。

解：

由题 1）得 $X(z)=\frac{z}{z-0.5}-\frac{z}{z-2}$

∵ 题目要求z变换的收敛为 $|z|>2$ ，序列为右边序列

又∵ 查表 ↓

∴ $x(n)=2^{-n}u(n)-2^{n}u(n)$

习题3：

用分部积分法求下面象函数 $X(z)$ 的原序列 $x(n)$

解：

// 先将式子中z变量的指数变成正数，分子分母同时乘 $z^{2}$ ，式子大小不变，题目式子变为如下：

$X(z)=\frac{z^{2}-\frac{1}{2}z}{z^{2}-\frac{1}{4}}$

∵ $\frac{X(z)}{z}=\frac{z-\frac{1}{2}}{z^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{z-\frac{1}{2}}{(z+\frac{1}{2})(z-\frac{1}{2})}=\frac{1}{z+\frac{1}{2}}$

∴ $X(z)=\frac{z}{z+\frac{1}{2}}$

∵ 该z变换的收敛域为 $|z|>\frac{1}{2}$ ，右边序列，且为因果序列

又∵ 查表 ↓

∴ 原序列 $x(n)=(-\frac{1}{2})^{n}u(n)$

以上就是用部分分式展开法计算z逆变换的相关知识。

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