浮点数的表示

浮点数的表示通常遵循类似科学计数法的规则，可以表示为N = ±M × r^E，其中：
1、N是浮点数。
2、±表示符号位，用来表示浮点数的正负。
3、M是尾数（有效数字），是一个纯小数，其绝对值在1到r之间（不包括r），其中r是基数（通常是2）。在计算机中，尾数通常用原码或补码表示，并且为了节省存储空间和提高精度，尾数部分通常会隐含一个最高有效位（例如，对于IEEE 754标准，这个隐含位是1）。
4、E是阶码（指数），是一个整数，用来表示小数点相对于尾数最高有效位（包括隐含位）的偏移量。阶码通常用补码或移码表示，以便于比较和运算。

IEEE 754标准

IEEE 754标准是目前广泛使用的浮点数表示标准，它规定了浮点数的格式、精度、舍入规则等。根据IEEE 754标准，常用的浮点数有两种格式：

1、单精度浮点数（Single-precision floating-point format）：使用32位表示，其中1位符号位，8位阶码（偏置值为127），23位尾数（隐含最高位1）。

2、双精度浮点数（Double-precision floating-point format）：使用64位表示，其中1位符号位，11位阶码（偏置值为1023），52位尾数（隐含最高位1）。

浮点数的运算

浮点数的运算包括加法、减法、乘法和除法。由于浮点数的表示方式，其运算过程相对复杂，通常遵循以下步骤：

1、对阶：在浮点数的加减运算中，首先需要将对阶码较小的数进行尾数右移（即乘以较小的2的幂次），并相应地调整阶码，使得两个操作数的阶码相同。对于乘法和除法运算，阶码可以直接进行加法和减法运算。

2、尾数运算：对阶后，对两个操作数的尾数进行加、减、乘或除运算。

3、规格化：运算后的尾数可能不再满足规格化的要求（即尾数的最高有效位可能不是1），因此需要进行规格化处理。规格化过程通常包括尾数的左移或右移以及阶码的相应调整。

4、舍入：由于浮点数的表示位数有限，运算结果可能需要进行舍入处理，以符合浮点数的表示格式。IEEE 754标准规定了多种舍入规则，如就近舍入、向零舍入等。

5、溢出处理：在浮点数的运算过程中，如果结果超出了浮点数的表示范围，则会发生溢出。溢出处理通常包括设置溢出标志、将结果表示为特殊值（如无穷大、非数值NaN）等。

浮点数的特点

浮点数具有以下特点：

1、表示范围大：相比于同长度的定点数，浮点数能够表示更大范围的数值。

2、精度有限：由于浮点数的表示位数有限，因此其精度也是有限的。对于非常接近的数值，浮点数可能无法准确区分。

3、运算速度慢：浮点数的运算相对于定点数来说要复杂得多，因此其运算速度通常较慢。

4、存在误差：由于浮点数的表示和运算都涉及到舍入处理，因此其运算结果可能存在误差。