一.1.树形结构概念的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=
m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2.重要概念 

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

这里还需要注意度,度在二叉树中是一个结点的概念,表示一个节点拥有子节点的数量.

1.度为0的节点:没有子节点的节点,称之叶子节点或终端节点

2.度为1的节点:只有一个子节点的节点(这个节点可左可右)

3.度为2的节点:有两个子节点的节点(既有左子节点也有右子节点)

2.二叉树

2.1.二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。(度要么是0要么是2)

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(在完全二叉树中除了最低层的节点可能没填满,其余每层节点数都达到最大值,并且最后一层没填满的节点都集中在最左边)

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
.若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储(堆)和类似于链表的链式存储

(顺序存储后面说)

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val;// 数据域Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法(后面说)
class Node {int val;// 数据域Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent;    // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，这里用孩子表示法来构建二叉树。

 2.5.二叉树的创建

这里我们以穷举的方式创建一个二叉树!先学会二叉树的遍历操作,再做其他的.

这里以如下图为例进行操作

public class BinaryTree {//二叉树是由若干个节点组成static class TreeNode {//孩子表示法public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}//接下来创建这棵树//public TreeNode root;//根节点(这里可写可不写,目前我们不写)//这里创建一颗二叉树,创建成功之后,返回根节点public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;//根节点是A,这里返回A}

测试

public class Text {public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree=new BinaryTree();//这里返回的是一个根节点,根节点是BinaryTree.TreeNode类型,这里定义一个这样类型的rootBinaryTree.TreeNode root=binaryTree.createTree();}
}

2.6二叉树的遍历

1.前序遍历, :前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。

2.中序遍历:中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。

3.后序遍历:后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

如下图: 

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

2. 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

注意:如果给一个前序遍历和后续遍历,不能创建一个二叉树,因为前序和后序遍历确定的都是根,不能确定左和右.

代码如下:

1.前序遍历

// 前序遍历(根左右)void preOrder(TreeNode root){if(root == null) {return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}

2.中序遍历 

 // 中序遍历  -》 左根右void inOrder(TreeNode root){if(root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}

3.后序遍历 

 // 后序遍历  -》 左右根void postOrder(TreeNode root){if(root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");

测试结果: 

 所有代码如下:

public class BinaryTree {//二叉树是由若干个节点组成static class TreeNode {//孩子表示法public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}//接下来创建这棵树//public TreeNode root;//根节点(这里可写可不写,目前我们不写)//这里创建一颗二叉树,创建成功之后,返回根节点public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;//根节点是A,这里返回A}// 前序遍历(根左右)void preOrder(TreeNode root){if(root == null) {return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}// 中序遍历  -》 左根右void inOrder(TreeNode root){if(root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}// 后序遍历  -》 左右根void postOrder(TreeNode root){if(root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}
}

---

2.6.1这里我们上一个难度:

二叉树的前序遍历

 

 如上我们通过public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root)这段代码可以看出,我们要把前序遍历的结果存到List当中,这里我们应该怎们做呢?

代码如下:

class Solution {List<Integer> ret = new ArrayList<>();public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) {return ret;}ret.add(root.val);preorderTraversal(root.left);preorderTraversal(root.right);return ret;}}
}

 如上这样写没有问题,但是这里我们就要思考一个问题,上面public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root)有返回值,但是我们上面写的没有用到返回值,那我们这里如何合理的利用这个返回值呢?

 正确代码如下:

class Solution {public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {//如果上面的List为空,就把他定义在里面,每次add list就好List<Integer> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}list.add(root.val);List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left);list.addAll(leftTree);List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right);list.addAll(rightTree);return list;
}
}

具体思路如下:

 

2.7.二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);// 子问题思路-求叶子结点个数// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);//层序遍历
void levelOrder(Node root);// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

1.

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);

这里我们怎么知道一棵树有多少个节点呢?该如何去计算呢?

这个时候我们就要想到我们上面说的前中后序遍历,我们所有二叉树的题都是围绕着遍历来展开的.

这里我们就要想,这里不管他是前序遍历还是中序遍历,只要遍历到节点,就让计数器加加.

这里看个最简单的写法:

public int nodeSize;// 获取树中节点的个数int size(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}nodeSize++;//root不为空,加加size(root.left);size(root.right);return nodeSize;}

这里再来看下用子问题(递归写法)的解决思路来写这个代码(和如上2.6.1的原理一样,就是用size的返回值int的方法):

这里我们了解一下什么是子问题解决思路:

整棵树的节点个数=左子树的节点个数+右子树的节点个数

1.左子树的节点个数=左子树的左子树的节点个数+左子树的右子树的节点个数

2.右子树的节点个数=右子树的左子树的节点个数+右子树的右子树的节点个数

代码如下:

//子问题的思路解决int size2(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}return size2(root.left)+size2(root.right)+1;}

结果如下:

思维图(递归的本质):

2.

// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);

和上面一样,如果按照

遍历思路解决:只需要按照某种遍历方式,遍历到某个节点,判断是不是叶子节点,如果是就计数器加加

如果按照子问题思路:整棵树的叶子=左子树的叶子+右子树的叶子

遍历思路代码如下:

 public int leafSize;// 获取叶子节点的个数int getLeafNodeCount1(TreeNode root){if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {leafSize++;}getLeafNodeCount1(root.left);getLeafNodeCount1(root.right);return leafSize;}

子问题解决思路:

int getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount(root.left)+ getLeafNodeCount(root.right);}

结果如下:

思维图: 

接下来我们以子问题来写代码. 

 3.

// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);

思路:

整棵树的第k层多少个节点=左子树的第k-1层节点+右子树的第k-1层节点

以上图为例:

A的第3层=A的左子树的第二层+A的右子树的第2层

A的左子树的第二层=A左树的左树的第一层+A左树的右树的第一层

如下:

代码如下:

// 获取第K层节点的个数int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {if(root == null) {return 0;}if(k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

结果如下: 

4.

// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);

高度指二叉树最大的层数,而这里求的高度其实就是左树高度和右树高度的最大值

整棵树的高度=左子树的高度和右子树的高度的最大值+1

代码如下:

// 获取二叉树的高度 时间复杂度O(N)1.第一种情况int getHeight(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;}2.第二种情况注意:这个代码在(力扣上面:题:二叉树的最大深度)会出现超出时间限制报错,因为这个递归太多了,所以上面 代码比较简洁int getHeight2(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}return getHeight2(root.left) > getHeight2(root.right)? getHeight2(root.left)+1:getHeight2(root.right)+1;}

结果如下: 

5.

// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);

这里首先判断这颗树是否是空树,如果不是就看根节点是不是,不是继续执行,看左子树是不是,如果是,返回.如果不是接着看右子树.

代码如下:

// 检测值为value的元素是否存在TreeNode find(TreeNode root, char val) {if(root == null) {return null;}if(root.val == val) {return root;}TreeNode ret1 = find(root.left,val);if(ret1 != null) {return ret1;//不去右边了}TreeNode ret2 = find(root.right,val);if(ret2 != null) {return ret2;}return null;}这里需要注意的是,如果找到了要找的这个值,就直接将这个值返回,不会再往后走了,也不去树的另一边了

6.

//层序遍历
void levelOrder(Node root);

7.

// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);