【数据结构】树和二叉树及堆的深入理解

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【数据结构】树和二叉树及堆的深入理解
- 前言
- 一.树
- - 1.1 树的概念
  - 1.2 树的相关概念
  - 1.3 树的表示
  - 1.4 树的应用
- 二.二叉树
- - 2.1 二叉树概念及结构
  - 2.3 特殊的二叉树
  - 2.4 二叉树的性质
  - 2.5 二叉树的存储结构
- 三.堆
- 后言

前言

哈喽，各位小伙伴大家好！上期我们学习和站和队列。接下来我们学习新的数据结构：树。话不多说，我们进入正题！向大厂冲锋!

一.树

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

根
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
子树
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是由递归定义的
树是递归定义的。树可以由根和子树组成。子树又可以跟和子树组成。
图
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。而是图，图是一种更加复杂的数据结构。

1.2 树的相关概念

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6
叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6。注意最大的节点的度才是树的度
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

孩子表示法
明确树的度
用指针数组表示节点的孩子

typedef int DataType;
struct Node
{DataType val;struct Node* subs[N]; //指针数组表示节点的孩子
};

不知道树的度
那就用动态的指针数组表示节点的孩子

typedef int DataType;
struct Node
{DataType val;struct Node** arr; //指向指针数组首元素的指针
};

孩子兄弟法

用一个指针指向左边第一个的孩子，一个指针指向右边的兄弟。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType data; // 结点中的数据域
};

这样我们找到左边的第一个孩子，在通过孩子的兄弟指针就可以找到所有的孩子节点。

1.4 树的应用

其实window系统就是森林。里面的C盘和D盘就是构成森林的多棵树。

所以有时候又叫目录树。

二.二叉树

2.1 二叉树概念及结构

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

树的度最大为2就是二叉树。
度为0，1，2都可以只要度不超过2就是二叉树

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.3 特殊的二叉树

满二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是
，则它就是满二叉树

。

满二叉树除了最后一层度为0，其他节点都是度为2.

完全二叉树

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

完全二叉树的前h-1层都是满二叉树，最后一层的节点从左到右必须连续。最后一层可以满也可以不满。

注意满二叉树是特殊的完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

2.4 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有 n0＝n2＋1
证明

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

链式结构就是用链表表示一个树节点，每个节点存储当前节点的数据，以及两个指针指向节点的孩子。三叉链表就会一个指针父亲节点的指针。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子BTDataType data; // 当前结点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* parent; // 指向当前结点的双亲struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子BTDataType data; // 当前结点值域
}；

顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

顺序结构就是用顺序表将树节点的值按顺序存储，那如何找到孩子节点，又如何找到孩子节点的父亲节点呢？

顺序结构需要通过下标根据父亲节点和孩子节点的下标关系从而找到两者。

三.堆

如果有一个关键码的集合K = { ，，，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

简单来说堆满足两个条件：

首先必须是完全二叉树
任何一个父亲节点的值都>=或<=他的孩子节点的值。
如果是大堆父亲节点的值都>=他的孩子节点的值。
如果是小堆父亲节点的值都<=他的孩子节点的值。
所以大堆的根就是堆的最大值，小堆就是堆的最小值。
这就可以用这个特性来做堆排序。

那大堆的顺序结构就是降序，小堆就是升序吗？

不能因为，兄弟节点的关系不能根据大小堆确定。