写到曲线这一章节，不得不先梳理一下数学中关于曲线这一部分的内容，我们常见的曲线有显式曲线、隐式曲线、参数曲线，当然还有极坐标曲线、参数化曲面、分段函数曲线、分形曲线、复数平面上的曲线、随机曲线、和非线性动力系统的轨迹，因为是中级篇，所以我们暂且不讲那么深，在曲线(1)中着重讲一下显式曲线、隐式曲线、参数曲线，在曲线(2)中粗略介绍一下其他曲线，方便我们在GeoGebra中进行绘制与使用。那么，开始吧！

一、显式曲线

常规的函数$f(x)=x^2$是一个显式曲线的形式，而不是参数曲线或隐式曲线。在这个情况下，曲线的方程是直接给出的：$$y=f(x)=x^2$$这种表示方法非常直观，因为它明确地告诉我们，给定$x$值之后，如何计算对应的$y$值。因此，曲线的每一个点$(x,y)$都可以直接通过$x$的取值来得到，所以叫显示曲线。

在前面GeoGebra的使用中，经常会用到这种显示曲线的表达方法，比如这样：

f: y=x^(2)

或者是

f(x)=x^(2)

这两种都是显式曲线的表达方式，但是注意，GeoGebra中会为每个函数添加标签，图中这两种加标签的方式都可以，但是如果两个标签一样，GeoGebra会默认两个函数是一样的，后边写的函数会覆盖之前写的函数（所以标签一定不要重复，我这里为了演示，所以写的是f和g）:

二、隐式曲线

通俗的讲，隐式曲线就像给你一张图，上面画了一些点，你需要找到那些符合某个规则的点。例如，你有一条规则$F(x,y)=0$，你需要在图上找到所有符合这个规则的点。这些点连起来就是你的曲线。

想象你有一个圆的方程$x^2+y^2-1=0$。这表示在所有满足$x^2+y^2=1$的点构成了一个圆。简单来说，类似于$x^2+y^2-1=0$这种表达式，可以称之为隐式曲线。

在GeoGebra中，这种曲线也比较常见，比如：

eq1: x^(2)+y^(2)-1=0

注意，也要有标签。

三、参数曲线

参数曲线就像给你一个地图上的路线指南，你可以按顺序一步一步地走，从而画出这条路线。假设我们用$t$表示时间，那么在某个时间点$t$，你知道自己在哪个位置$(x,y)$。也就是说，曲线上的每一个点都是由时间$t$来决定的。

比如：想象你在操场上绕圈跑，你的位置随时间变化，可以用公式$x=\cos (t)$和$y=\sin (t)$来描述。这里的$t$就是你跑步的时间，它决定了你在圆上的位置。

或者可以这么理解，类似下边这种形式的都可以称作是参数曲线：
$x=3\cos (t)$
$y=3\sin (t)$
这表示一个半径为3的圆。通过改变$t$的值，你可以计算出不同时间点对应的$(x,y)$坐标，画出整个圆。

在GeoGebra中，参数曲线可以使用滑动条作为参数，来改变（x，y）的值，例如：

a: -π≤t≤π
t: X=(3 cos(t),3 sin(t))

四、更详细的例子

常规的函数$f(x)=x^2$是一个显式函数的形式，而不是参数曲线或隐式曲线。在这个情况下，曲线的方程是直接给出的：$y=f(x)=x^2$这种表示方法非常直观，因为它明确地告诉我们，给定$x$值之后，如何计算对应的$y$值。因此，曲线的每一个点$(x,y)$都可以直接通过$x$的取值来得到。

显式曲线：

• 函数$y=x^2$：给定$x$值，直接计算$y$值。
• 如果$x=2$，那么$y=2^2=4$。

参数曲线：

• 参数方程$x=t$$,$$y=t^2$：
  • 给定$t$值，计算$(x,y)$坐标。
  • 如果$t=2$，那么$x=2$$,$$y=2^2=4$。

隐式曲线：

• 隐式方程$x^2+y^2=1$：
  • 找到所有满足这个方程的点。
  • 如果$x=0.5$，求解$y$需要满足$(0.5{)}^2+y^2=1$，得到$$y=\sqrt{1-0.25}=\pm \sqrt{0.75}$$

总结来说，函数$y=x^2$是显式曲线的一种，它直接给出了$y$和$x$之间的关系，易于理解和计算。

五、文章最后

若有任何问题都可以在这个铺子问客服，也会有资源相送，GeoGebra、PPT、平面动画、3D动画等各种技术都可以，祝好！