Least Square Criteria

模型

• 输入导频序列，$x(n),n=0,1,\cdots ,N-1$

• 加性噪声序列：$\omega (n),n=0,1,\cdots ,N-1$

• 输出序列，即接收序列：$y(n),n=0,1,\cdots ,N-1$

• 信道系数：$h(n),n=0,1,\cdots ,N-1$

• 于是模型为：

$$y(n)=x(n)\cdot h(n)+\omega (n)$$

推导

• $\mathbf{y}=[y(0),y(1),\cdots ,y(N-1){]}^T$

• $\mathbf{x}=[x(0),x(1),\cdots ,x(N-1){]}^T$

• $\mathbf{X}=\text{diag}(\mathbf{x})$

• $\mathbf{h}=[h(0),h(1),\cdots ,h(N-1){]}^T$

• $\mathbf{w}=[\omega (0),\omega (1),\cdots ,\omega (N-1){]}^T$

• $\mathbf{y}=\mathbf{Xh}+\mathbf{w}$

• 代价函数：$f=||\mathbf{y}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}|{|}^2$

$$\begin{array}{rl}f& =||\mathbf{y}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}|{|}^2\\ & =(\mathbf{y}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}{)}^H(\mathbf{y}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}})\\ & ={\mathbf{y}}^H\mathbf{y}-{\mathbf{y}}^H\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}-{\hat{\mathbf{h}}}^H{\mathbf{X}}^H\mathbf{y}+{\hat{\mathbf{h}}}^H{\mathbf{X}}^H\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial \hat{\mathbf{h}}}& =-{\mathbf{y}}^H\mathbf{X}-({\mathbf{X}}^H\mathbf{y}{)}^H+({\mathbf{X}}^H\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}{)}^H+{\hat{\mathbf{h}}}^H{\mathbf{X}}^H\mathbf{X}\\ & =-2{\mathbf{y}}^H\mathbf{X}+2{\hat{\mathbf{h}}}^H{\mathbf{X}}^H\mathbf{X}\end{array}$$

令$\frac{\partial f}{\partial \hat{\mathbf{h}}}=0$,
$$\begin{array}{rl}-2{\mathbf{y}}^H\mathbf{X}+2{\hat{\mathbf{h}}}^H{\mathbf{X}}^H\mathbf{X}& =0\\ {\hat{\mathbf{h}}}^H{\mathbf{X}}^H\mathbf{X}& ={\mathbf{y}}^H\mathbf{X}\\ {\mathbf{X}}^H\mathbf{X}\hat{\mathbf{h}}& ={\mathbf{X}}^H\mathbf{y}\\ \hat{\mathbf{h}}& =({\mathbf{X}}^H\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^H\mathbf{y}\end{array}$$

如果$\mathbf{X}$满秩（$\mathbf{x}$是导频序列，应该会满足），那么
$$\hat{\mathbf{h}}={\mathbf{X}}^{-1}\mathbf{y}$$
Mean Square Error：
$$\begin{array}{rl}\text{E}(||\mathbf{h}-\hat{\mathbf{h}}|{|}^2)& =\text{E}(||{\mathbf{X}}^{-1}\mathbf{w}|{|}^2)\\ & =\frac{{\sigma }_{\omega }^2}{{\sigma }_x^2}\\ & =\frac{1}{\text{SNR}}\end{array}$$
这个与SNR的反比的关系，导致在SNR很低的时候，MSE以反比的方式放大的很大。

Minimum Mean Squared Error Criteria