一、字符串哈希

1.1 基本概念

字符串哈希 将不同的字符串映射成不同的整数。

思想：将字符串映射成一个 p进制数字。

我们定义如下哈希函数：
$$\begin{array}{rl}& hash(s)=\sum _{i=1}^{n}s[i]\times p^{n-i}(modM)\\ & 其中s为长度为n的字符串，下标从1开始\end{array}$$
例如：p = 131，s = abc，其哈希值为 $97\times {131}^2+98\times 131+99$

显然，有时会存在多个不同的字符串哈希值相同的情况，我们通常的处理策略是巧妙设置p和M的值，往往取p为某个质数，M为某个大质数。

关于 p 的选择：常见的有131、31、13331等。

关于 M，由于 M 我们要取一个比较大的质数，而出题人往往对一些比较经典的质数如1e9 + 7、998244353等构造一堆卡哈希的数据，所以我们往往通过捕获一个随机数，根据随机数往下再取质数，来尽可能避免被hack。

还有的处理方式如：双模数hash，甚至三模数hash，虽然有一定作用，但是运算多了之后，时间复杂度的常数自然增大。

下面只介绍自然溢出法的单hash和双hash以及随机模底hash，多了也没必要，字符串哈希往往是作为算法优化的某一步骤，如果双hash都能被卡，说明题目可以采取其它优化策略，如：AC自动机、SA等。

1.2 实现方式

1.2.1 单hash（自然溢出法）

constexpr int base = 131;
std::vector<size_t> h(n + 1);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {h[i + 1] = h[i] * base + s[i];
}

1.2.2 双hash（自然溢出法）

constexpr int base = 131;
std::vector<size_t> h1(n + 1), h2(n + 1);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {h1[i + 1] = h1[i] * base1 + text[i];h2[i + 1] = h2[i] * base2 + text[i];
}

1.2.3 随机模底hash

随机模底哈希就是用随机数来生成base，同时抛弃自然溢出法，采用对一个大质数取模。

由于往往用时间戳生成随机数，所以被hack的几率也较小。但是，字符串哈希始终是有风险的。

std::mt19937 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
const int P = findPrime(rng() % 900'000'000 + 900'000'000), 
base = uniform_int_distribution<>(8e8, 9e8)(rng);
std::vector<int> h(n + 1), p(n + 1);
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++ i)p[i] = 1LL * p[i - 1] * base % P;
for (int i = 0; i < n; ++ i) {h[i + 1] = (1LL * h[i] * base % P + text[i]) % P;
}

1.3 滚动hash

滚动哈希解决的问题：对于一个字符串，我们如何O(1)获取任意子串的hash值？

如上图，我们要获取蓝色部分的hash值，我们用类似前缀和的方式可以获取：

h(s(5, 8)) = h(8) - h(4) * base ^ 4

这种获取子串hash值得方式我们就称为滚动哈希。

1.4 OJ 练习

1.4.1 模板

P3370 【模板】字符串哈希 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;bool isprime (int x) {if (x <= 1) return false;for (int i = 2; i * i <= x; ++ i)if (x % i == 0) return false;return true;
}int findPrime (int x) {while (!isprime(x))++ x;return x;
}void solve() {std::mt19937 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());const int P = findPrime(rng() % 900'000'000 + 900'000'000), base = std::uniform_int_distribution<>(8e8, 9e8)(rng);int n;std::cin >> n;std::vector<int> a(n);for (int i = 0; i < n; i ++ ) {std::string s;std::cin >> s;int h = 0;for (char ch : s)h = (1LL * base * h + ch - '0') % P;a[i] = h;}std::sort(a.begin(), a.end());a.resize(std::unique(a.begin(), a.end()) - a.begin());std::cout << a.size();
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);int _ = 1;// std::cin >> _;while (_ --)solve();return 0;
}

::cout.tie(nullptr);
int _ = 1;
// std::cin >> ;
while ( --)
solve();
return 0;
}