二重积分 - 包括计算方法和可视化

flyfish

计算在矩形区域 $R=[0,1]\times [0,2]$ 下，函数 $z=8x+6y$ 的二重积分。这相当于计算曲面 $z=8x+6y$ 与 xy 平面之间的体积。

二重积分的读法

二重积分 ${\int }_0^2{\int }_0^1(8x+6y)dxdy$ 可以读作：

在区域 $y$ 从 0 到 2，$x$ 从 0 到 1 的范围内，对函数 $8x+6y$ 首先关于 $x$ 进行积分，然后对结果关于 $y$ 进行积分，得到在该区域下的体积。

符号含义

• $V$: 表示体积。

• $\int$: 表示积分。

• $dx$: 表示关于变量 $x$ 的积分。

• $dy$: 表示关于变量 $y$ 的积分。

• $f(x,y)$: 表示函数 $8x+6y$。

• $[0,1]$: 表示 $x$ 的积分区间。

• $[0,2]$: 表示 $y$ 的积分区间。

求解步骤

1. 二重积分表达式 :
   $$V={\int }_0^2{\int }_0^1(8x+6y)dxdy$$

2. 对 $x$ 进行内积分 :
   $${\int }_0^1(8x+6y)dx$$
   首先，将 $6y$ 视为常数：
   $${\int }_0^{1}8xdx+{\int }_0^{1}6ydx$$
   计算 $8x$ 的积分:
   $$4x^2{|}_0^1=4(1{)}^2-4(0{)}^2=4$$
   计算 $6y$ 的积分（这里 $y$ 是常数）:
   $$6y{\int }_0^{1}dx=6y[x]{|}_0^1=6y(1-0)=6y$$结合上述结果：
   $${\int }_0^1(8x+6y)dx=4+6y$$

3. 对 $y$ 进行外积分 :
   $${\int }_0^2(4+6y)dy$$
   计算 $4$ 的积分:
   $$4y{|}_0^2=4(2)-4(0)=8$$
   计算 $6y$ 的积分:
   $$3y^2{|}_0^2=3(2{)}^2-3(0{)}^2=12$$结合上述结果：
   $${\int }_0^2(4+6y)dy=8+12=20$$
   所以，计算结果 $V$ 为 20。

求二重积分 使用scipy.integrate

import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad# 定义函数 f(x, y)
def f(x, y):return 8*x + 6*y# 定义积分区间
a, b = 0, 1   # x 的积分范围
c, d = 0, 2   # y 的积分范围# 计算二重积分 V = ∫[c,d]∫[a,b] (8x + 6y) dx dy
result, error = dblquad(f, c, d, lambda y: a, lambda y: b)print(f'The volume under the plane is approximately: {result}')

求二重积分 不使用库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 定义函数 f(x, y)
def f(x, y):return 8*x + 6*y# 手动计算内积分 ∫[0,1] (8x + 6y) dx
def inner_integral(y):return 4 + 6*y# 手动计算外积分 ∫[0,2] inner_integral(y) dy
def outer_integral():result = 0result += 4 * (2 - 0)  # ∫[0,2] 4 dyresult += 3 * (2**2 - 0**2)  # ∫[0,2] 6y dy = 6 * ∫[0,2] y dy = 6 * (1/2) * y^2return result# 计算结果
volume = outer_integral()
print(f'The volume under the plane is: {volume}')

可视化代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 定义函数 z = 8x + 6y
def f(x, y):return 8*x + 6*y# 定义网格
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = np.linspace(0, 2, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)# 绘制曲面图
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', alpha=0.8)# 绘制包围体积区域的虚线框
ax.plot([0, 0], [0, 0], [0, f(0, 0)], 'k--')
ax.plot([0, 0], [2, 2], [0, f(0, 2)], 'k--')
ax.plot([1, 1], [0, 0], [0, f(1, 0)], 'k--')
ax.plot([1, 1], [2, 2], [0, f(1, 2)], 'k--')
ax.plot([0, 0], [0, 2], [f(0, 0), f(0, 2)], 'k--')
ax.plot([1, 1], [0, 2], [f(1, 0), f(1, 2)], 'k--')
ax.plot([0, 1], [0, 0], [f(0, 0), f(1, 0)], 'k--')
ax.plot([0, 1], [2, 2], [f(0, 2), f(1, 2)], 'k--')# 设置标签
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Volume under z = 8x + 6y')plt.show()

看完例子再来说二重积分

二重积分简介

二重积分是多重积分的一种，涉及两个变量的函数积分。与单变量函数的积分类似，二重积分计算曲面和xy平面之间的体积。

基本定义

设 $f(x,y)$ 是在矩形区域 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上定义的连续函数。其二重积分记作：${\iint }_{R}f(x,y)dA$其中，$dA$ 是微小的面积元素。

几何解释

对于非负函数 $f(x,y)\ge 0$，二重积分 ${\iint }_{R}f(x,y)dA$ 表示曲面 $z=f(x,y)$ 与xy平面之间的体积。

计算方法

1. 分割区域 ：将区域 $R$ 分割成许多小矩形，每个小矩形的面积记为 $\Delta A$。

2. 求和 ：计算每个小矩形上函数值 $f(x_i,y_j)$ 乘以面积 $\Delta A$ 的和。

3. 取极限 ：当小矩形的数量趋于无穷时，求和的极限即为二重积分：
   ${\iint }_{R}f(x,y)dA={\lim }_{\Delta A\to 0}{\sum }_i{\sum }_{j}f(x_i,y_j)\Delta A$

迭代积分

二重积分可以通过两个单重积分的迭代来计算：
${\iint }_{R}f(x,y)dA={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx$

例子

求解步骤 我们以 $f(x,y)=8x+6y$ 为例，计算在矩形区域 $[0,1]\times [0,2]$ 下的二重积分。

二重积分表达式

$V={\int }_0^2{\int }_0^1(8x+6y)dxdy$

内部积分

先对 $x$ 积分：${\int }_0^1(8x+6y)dx={\int }_0^{1}8xdx+{\int }_0^{1}6ydx$$=4x^2{|}_0^1+6y{\left[x\right]}_0^1$$=4(1{)}^2-4(0{)}^2+6y(1-0)$$=4+6y$

外部积分

再对 $y$ 积分：${\int }_0^2(4+6y)dy={\int }_0^{2}4dy+{\int }_0^{2}6ydy$$=4y{|}_0^2+3y^2{|}_0^2$$=4(2)-4(0)+3(2{)}^2-3(0{)}^2$$=8+12=20$

二重积分符号中英读法比较

$${\iint }_{R}f(x,y)dA$$

1. 二重积分符号 $\iint$ ：
   “double integral”。
   “二重积分”。

2. 积分域 $R$ ：
   “over the region R”。
   “在区域 R 上”。

3. 被积函数 $f(x,y)$ ：
   “the function f of x and y”。
   “函数 f 关于 x 和 y”。

4. 微分元 $dA$ ：
   “differential area element dA”。
   “微分面积元 dA”。

完整的二重积分表达式：
“double integral of f of x and y over the region R with respect to the area element dA.”
“函数 f 关于 x 和 y 在区域 R 上的二重积分，对微分面积元 dA 积分。”

如果具体到一个特定的积分表达式，例如：
$${\iint }_{[0,1]\times [0,2]}(8x+6y)dxdy$$

“double integral of 8x plus 6y over the rectangle from 0 to 1 and 0 to 2 with respect to x and y.”
“8x 加 6y 在从 0 到 1 和从 0 到 2 的矩形区域上的二重积分，对 x 和 y 积分。”