信号与系统笔记分享

文章目录

  • 一、导论
    • 信号分类
    • 周期问题
    • 能量信号和功率信号
    • 系统的线性判断
    • 时变,时不变系统
    • 因果系统判断
    • 记忆性系统判断
    • 稳定性系统判断
  • 二、信号时域分析
    • 阶跃函数
    • 冲激函数
      • 取样性质
      • 四种特性
        • 1 筛选特性
        • 2 抽样特性
        • 3 展缩特性
        • 4 卷积特性
          • 卷积作用
    • 冲激偶函数
      • 奇函数性质
      • 公式
      • 推导与证明
    • 斜坡信号
  • 三、系统时域分析
      • 连续时间LTI系统的响应
      • 离散时间LTI系统的响应
  • 四、周期频域分析
      • 三角形式的傅里叶级数
      • 指数形式的傅里叶级数
  • 五、非周期频域分析
    • 傅里叶变换
    • 连续时间傅里叶变换的性质
  • 六、系统频域分析
    • 系统对信号的响应

介绍
我只整理了一些比较关键的、考试可能会考的点(拉普拉斯变换后面那些我们考试不用考,所以就没整理),希望对大家有所帮助!

一、导论

信号 x ( t ) → 系统 h ( t ) → 响应 y ( t ) 信号x(t) \rightarrow 系统h(t) \rightarrow 响应y(t) 信号x(t)系统h(t)响应y(t)

信号分类

连续:模拟信号 / 时域连续信号 自变量和函数值都取连续值

离散:时域离散信号 自变量离散,函数值连续

数字信号 — 幅度量化了的时域离散信号

函数值幅值量化后变离散,如 0.64 -> 0.101 用二进制编码表示

连续信号经过抽样得到离散信号,离散信号经过幅值量化才得到数字信号

周期问题

2 π w \frac{2\pi}{w} w2π为整数,周期为 2 π w \frac{2\pi}{w} w2π

2 π w \frac{2\pi}{w} w2π是有理数, 2 π w = P Q \frac{2\pi}{w} = \frac{P}{Q} w2π=QP P Q 互为素数,周期为P

2 π w \frac{2\pi}{w} w2π为无理数,不是周期序列

能量信号和功率信号

能量有界,能量有限信号,功率 P = 0

功率有界,功率有界信号,能量 E = ∞

连续符号是积分,离散符号是累加

系统的线性判断

线性需要满足以下三个条件:

1 可分解性 分解为: y z i y_{zi} yzi (y zero input) 零输入响应 + y z s y_{zs} yzs (y zero status) 零状态响应

y z i y_{zi} yzi f ( t ) = 0 f(t) = 0 f(t)=0

y z s y_{zs} yzs x ( 0 ) = 0 x(0) = 0 x(0)=0

如果是 x ( 0 ) ⋅ f ( t ) x(0) · f(t) x(0)f(t) 这种乘积形式,显然不可分解,肯定非线性

2 y z i y_{zi} yzi 线性 3 y z s y_{zs} yzs 线性 判断线性:要满足 均匀性 + 可加性

均匀性 k x ( t ) = k y ( t ) kx(t) = ky(t) kx(t)=ky(t) 输入增加k倍,输出也增加k倍

可加性 x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) x1(t) + x2(t) = y1(t) + y2(t) x1(t)+x2(t)=y1(t)+y2(t) 对应成比例

整体判断 a x 1 + b x 2 = a y 1 + b y 2 ax1 + bx2 = ay1 + by2 ax1+bx2=ay1+by2

时变,时不变系统

针对零状态响应,只与激励有关

判断方法: 当输入 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 时, 输出 t ( t − t 0 ) t(t-t_0) t(tt0) 时不变

若式子中的 t 只在 f ( t ) f(t) f(t) 中,那么时不变,如 f ( t ) 2 f(t)^2 f(t)2

若有 g ( t ) f ( t ) g(t)f(t) g(t)f(t) t f ( t ) tf(t) tf(t) 等形式,那么时变

对于其他复杂形式:

t 0 t_0 t0 这个行为对于右边两种情况: y中的t,变的是t本身, f(t)中的t,变的是括号( )内

比如 f ( − t ) f(-t) f(t) y 中的 t 对应 f ( − ( t − t 0 ) ) f ( -( t-t_0 ) ) f((tt0)) f( ) 中的 t 对应 f ( − t − t 0 ) f ( -t - t_0 ) f(tt0) 因此为时变

比如 f ( t 3 ) f(\frac{t}{3}) f(3t) y 中的 t 对应 f ( t − t 0 3 ) f ( \frac{t-t_0}{3} ) f(3tt0) f( ) 中的 t 对应 f ( t 3 − t 0 ) f ( \frac {t}{3} - t_0 ) f(3tt0) 因此为时变

因果系统判断

先有输入,才有输出,即 t ( i n ) ⩽ t ( o u t ) t(in) \leqslant t(out) t(in)t(out) 才正确

特例:如果没给出 t > 0 的前提条件,需要先进行分类讨论

记忆性系统判断

当前输出只取决于当前输入,无记忆;
取决于之前输入,有记忆;
取决于之后输入,啥也不是 …

稳定性系统判断

当输入有界时,输出也有界,则系统稳定

二、信号时域分析

阶跃函数

μ ( t ) \mu(t) μ(t) 0 跳到 1

冲激函数

δ ( t ) \delta(t) δ(t) 类似阶跃函数的导数,积分(面积) = 1,仅在0时刻有值,其他地方的y均=0

取样性质

f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = f ( 0 ) f ( t ) δ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) ∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t) dt = f(0) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) dt = f(0) \\ f(t) \delta(t-t_0) = f(t_0) \delta(t-t_0) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t-t_0) dt = f(t_0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) dt = f(t_0) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)+f(t)δ(t)dt=f(0)+δ(t)dt=f(0)f(t)δ(tt0)=f(t0)δ(tt0)+f(t)δ(tt0)dt=f(t0)+δ(tt0)dt=f(t0)

四种特性

没有积分就是筛选特性,有积分就是抽样特性

1 筛选特性

f ( t ) δ ′ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ′ ( t − t 0 ) − f ′ ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) { f(t) {\delta}'(t-t_0) = f(t_0) {\delta}'(t-t_0) - {f}'(t_0)\delta (t-t_0)} f(t)δ(tt0)=f(t0)δ(tt0)f(t0)δ(tt0)

函数 * 冲激函数 = t 0 t_0 t0 位置的值,在求冲激响应时会用到!

2 抽样特性

注意:冲击偶后面要求导 + 变号,冲激就只是取样性质而已
∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ′ ( t − t 0 ) d t = − f ′ ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} f(t){\delta}'(t-t_0)dt = -{f}'(t_0) f(t)δ(tt0)dt=f(t0)

相乘的积分 = 在 t 0 t_0 t0 位置的值

3 展缩特性

0阶导(就是正常没导数的情况)
δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) ( a ≠ 0 ) {\delta}(at) = \frac{1}{\left | a \right |} {\delta}(t) \quad\quad {\small (a \neq 0) } δ(at)=a1δ(t)(a=0)
n阶导
δ ( n ) ( a t ) = 1 a n ∣ a ∣ δ ( n ) ( t ) ( a ≠ 0 ) {\delta}^{(n)}(at) = \frac{1}{a^n \left | a \right |} {\delta}^{(n)}(t) \quad\quad {\small (a \neq 0) } δ(n)(at)=ana1δ(n)(t)(a=0)
一般情况
δ ( a t + b ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t + b a ) ( a ≠ 0 ) {\delta}(at + b) = \frac{1}{\left | a \right|} {\delta}(t + \frac{b}{a}) \quad\quad {\small (a \neq 0) } δ(at+b)=a1δ(t+ab)(a=0)

δ ′ ( a t + b ) = 1 a ∣ a ∣ δ ′ ( t + b a ) ( a ≠ 0 ) {\delta}'(at + b) = \frac{1}{a \left | a \right |} {\delta}'(t + \frac{b}{a}) \quad\quad {\small (a \neq 0) } δ(at+b)=aa1δ(t+ab)(a=0)

at 的系数 a 可以提到外面,当 a = -1 时,冲激信号是偶函数

4 卷积特性

西电讲解 推导公式
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau f(t)=f(τ)δ(tτ)dτ
卷积定义式 δ → g \delta \rightarrow g δg 是信号变为零状态响应的变形推导
f ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ f(t) = f(t) * g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau f(t)=f(t)g(t)=f(τ)g(tτ)dτ

卷积公式 函数与冲激信号的卷积 = 函数 t-t0 延时

卷积作用

系统函数取反,然后从左边根据时间 t 不断向右挪,然后和自变量x(t)相乘求积分,这就是卷积,以及其应用。

冲激偶函数

δ ′ ( t ) {\delta}'(t) δ(t) 冲激函数的导数

奇函数性质

冲激函数是偶函数,所以冲激偶函数是奇函数(好绕,不知道为什么要这么取名字…)

δ ′ ( − t ) = − δ ′ ( t ) {\delta}'(-t) = -{\delta}'(t) δ(t)=δ(t)

公式

f ( t ) δ ′ ( t ) = f ( 0 ) δ ′ ( t ) − f ′ ( 0 ) δ ( t ) f ( t ) δ ′ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ′ ( t − t 0 ) − f ′ ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) ( 筛选特性 ) f(t) {\delta}'(t) = f(0) {\delta}'(t) - {f}'(0)\delta (t) \quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad f(t) {\delta}'(t-t_0) = f(t_0) {\delta}'(t-t_0) - {f}'(t_0)\delta (t-t_0) \quad\quad (筛选特性) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f(0)δ(t)f(t)δ(tt0)=f(t0)δ(tt0)f(t0)δ(tt0)(筛选特性)

推导与证明

[ f ( t ) δ ( t ) ] ′ = f ( t ) ′ δ ( t ) + f ( t ) δ ( t ) ′ f ( t ) δ ( t ) ′ = [ f ( t ) δ ( t ) ] ′ − f ( t ) ′ δ ( t ) 由冲激函数性质 : f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) 因此将 f ( t ) 中的 t 代换成 0 , 得 : f ( t ) δ ( t ) ′ = [ f ( 0 ) δ ( t ) ] ′ − f ( 0 ) ′ δ ( t ) = f ( 0 ) δ ′ ( t ) − f ′ ( 0 ) δ ( t ) {[f(t)\delta(t)]}' = {f(t)}'\delta(t) + f(t){\delta(t)}' \\ f(t){\delta(t)}' = {[f(t)\delta(t)]}' - {f(t)}'\delta(t) \\ 由冲激函数性质: f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t) \\ 因此将f(t)中的t代换成0,得: \\ f(t){\delta(t)}' = {[f(0)\delta(t)]}' - {f(0)}'\delta(t) \\ = f(0){\delta}'(t) - {f}'(0)\delta(t) [f(t)δ(t)]=f(t)δ(t)+f(t)δ(t)f(t)δ(t)=[f(t)δ(t)]f(t)δ(t)由冲激函数性质:f(t)δ(t)=f(0)δ(t)因此将f(t)中的t代换成0,:f(t)δ(t)=[f(0)δ(t)]f(0)δ(t)=f(0)δ(t)f(0)δ(t)

斜坡信号

r ( t ) r(t) r(t) 类似于ReLU,在单纯的 f ( t ) f(t) f(t)情况下就是ReLU

但是 r ( t ) r(t) r(t) 可以平移和伸缩,右半部分是 k x + b kx + b kx+b 这个形式

三、系统时域分析

连续时间LTI系统的响应

微分方程求解和高数一样,注意自变量x换成t,u(t)=1 (t>0) 就行

注意例题(重点)

离散时间LTI系统的响应

差分方程求解,积分变累加

注意例题(重点)

固有响应:本来就有的响应(后面和特征根匹配的)

强迫响应:外界输入的

暂态响应:暂时的,k趋于无穷大时,值趋于0的项

稳态响应:稳定的,k趋于无穷大时,值不趋于0的项

四、周期频域分析

三角形式的傅里叶级数

f ( t ) 分为:直流 + 基波 + 谐波分量 f(t)分为:直流 + 基波 + 谐波分量 f(t)分为:直流+基波+谐波分量

n = 1:基波分量 n > 1:谐波分量

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( 2 π n t T ) + b n sin ⁡ ( 2 π n t T ) ) f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) \right) f(t)=2a0+n=1(ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt))

a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt a0=T20Tf(t)dt

a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ⁡ ( 2 π n t T ) d t for  n ≥ 1 a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) dt \quad \text{for } n \geq 1 an=T20Tf(t)cos(T2πnt)dtfor n1

b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ⁡ ( 2 π n t T ) d t for  n ≥ 1 b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) dt \quad \text{for } n \geq 1 bn=T20Tf(t)sin(T2πnt)dtfor n1

若函数 f ( t ) 的周期为 : 2 π ,即 T = 2 π ,则傅里叶级数可以简化为: 若函数 f(t) 的周期为: 2\pi,即 T = 2\pi ,则傅里叶级数可以简化为: 若函数f(t)的周期为:2π,即T=2π,则傅里叶级数可以简化为:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n t ) + b n sin ⁡ ( n t ) ) f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt) \right) f(t)=2a0+n=1(ancos(nt)+bnsin(nt))

相应的系数 ( a n ) 和 ( b n ) 的计算公式变为: 相应的系数 ( a_n ) 和 ( b_n ) 的计算公式变为: 相应的系数(an)(bn)的计算公式变为:

a 0 = 1 π ∫ − π π f ( t ) d t a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) dt a0=π1ππf(t)dt

a n = 1 π ∫ − π π f ( t ) cos ⁡ ( n t ) d t for  n ≥ 1 a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) dt \quad \text{for } n \geq 1 an=π1ππf(t)cos(nt)dtfor n1

b n = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin ⁡ ( n t ) d t for  n ≥ 1 b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) dt \quad \text{for } n \geq 1 bn=π1ππf(t)sin(nt)dtfor n1

信号为偶函数,不含正弦项

信号为奇函数,不含直流和余弦项

半波对称函数,傅里叶级数只含偶次谐波,又称偶谐函数

半波镜像对称函数,傅里叶级数只含奇次谐波,又称奇谐函数

指数形式的傅里叶级数

假设 f ( t ) f(t) f(t) 是一个周期为 T T T 的周期信号,即 f ( t ) = f ( t + T ) f(t) = f(t + T) f(t)=f(t+T)。它可以表示为:

f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j n ω 0 t f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \omega_0 t} f(t)=n=Cnejnω0t

傅里叶级数系数 C n C_n Cn 可以通过以下公式计算得到:

C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − j n ω 0 t d t C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-j n \omega_0 t} \, dt Cn=T10Tf(t)ejnω0tdt

C n C_n Cn也可以不用算啊, 如果题目给了 f ( t ) f(t) f(t)的话,直接欧拉公式然后看出来啊,然后画频谱图就行

频谱图公式:
C n = ∣ C n ∣ e j ϕ n C_n = \left | C_n \right | e^{j\phi n} Cn=Cnejϕn
很明显可以直接看出来 ϕ \phi ϕ 是什么东西,到时两个图横坐标都是 w w w,纵坐标一个 ∣ C n ∣ |C_n | Cn ,一个 ϕ \phi ϕ

注意:如果 C n C_n Cn已经是实数了(没有 j )而不是复数,那么就没有两个图,画一个纵坐标为 C n C_n Cn的就行!

五、非周期频域分析

傅里叶变换

正变换:时域 → \rightarrow 频域

反变换:频域 → \rightarrow 时域

F(jw)称为f(t)的傅里叶变换,或频谱密度函数,简称频谱。

F ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt F()=f(t)etdt

f(t)称为F(jw)的傅里叶反变换或原函数,就是把指数形式的傅里叶级数变换成F(jw)的形式

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega f(t)=2π1F()etdω

下面是b站 张锦皓Roger up主整理的图

  • 如果不是速成而是要好好学的话,我推荐看他的课程,主要是感觉他的题目过程讲解很细致清晰

在这里插入图片描述

连续时间傅里叶变换的性质

在这里插入图片描述

六、系统频域分析

时域:信号 x ( t ) → 系统 h ( t ) → 响应 y ( t ) x(t) \rightarrow 系统h(t) \rightarrow 响应y(t) x(t)系统h(t)响应y(t)

频域:信号 E ( j w ) → 系统 H ( j w ) → 响应 Y ( j w ) E(jw) \rightarrow 系统H(jw) \rightarrow 响应Y(jw) E(jw)系统H(jw)响应Y(jw)

  • 省流:全换成大写,t 换成 jw

系统对信号的响应

e j ω 0 t → y ( t ) = H ( j ω 0 ) e j ω 0 t = ∣ H ( j ω 0 ) ∣ e j [ ω 0 t + ϕ ( ω 0 ) ] e^{j\omega_0t} \rightarrow y(t) = H(j\omega_0)e^{j\omega_0t} = \left | H(j\omega_0) \right | e^{j[\omega_0t + \phi(\omega_0)]} ejω0ty(t)=H(jω0)ejω0t=H(jω0)ej[ω0t+ϕ(ω0)]

c o s ω 0 t → y ( t ) = ∣ H ( j ω 0 ) ∣ c o s [ ω 0 t + ϕ ( ω 0 ) ] cos\omega_0t \rightarrow y(t) = \left | H(j\omega_0) \right |cos[\omega_0t + \phi(\omega_0)] cosω0ty(t)=H(jω0)cos[ω0t+ϕ(ω0)]

c o s ( ω 0 t + ϕ n ) → y ( t ) = ∣ H ( j ω 0 ) ∣ c o s [ ω 0 t + ϕ ( ω 0 ) + ϕ n ] cos(\omega_0t + \phi_n) \rightarrow y(t) = \left | H(j\omega_0) \right |cos[\omega_0t + \phi(\omega_0) + \phi_n] cos(ω0t+ϕn)y(t)=H(jω0)cos[ω0t+ϕ(ω0)+ϕn]

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DCI_CASCADE DCI_CASCADE定义了一组高性能&#xff08;HP&#xff09;之间的主从关系 I/O银行。数字控制阻抗&#xff08;DCI&#xff09;参考电压从 主I/O库到从I/O库。 DCI_CASCADE指定哪些相邻库使用DCI级联功能&#xff0c;从而共享 具有主组的参考电阻器。如果同一I/O组列…

【无标题】AMAZINGIC晶焱科技:汽车电子 EOS 测试与防护

因牵涉到人身安全且需确保车辆正常行驶&#xff0c;车用产品的测试条件会比一般消费性产品还要严苛许多&#xff0c;大部分采用的EMC测试法规都是车载专用标准&#xff0c;因此汽车电子的验证几乎是独立于其他领域的。本文将集成晶焱科技深耕车用市场的经验&#xff0c;探讨汽车…

Spring Boot应用使用GraalVM本地编译相关配置

1. 介绍 Java应用程序可以通过Graalvm Native Image提前编译生成与本地机器相关的可执行文件。与在JVM执行java程序相比&#xff0c;Native Image占用内存更小和启动速度更快。 从spring boot3开始支持GraalVM Native Image&#xff0c;因此要使用此特性&#xff0c;需要把sp…

count(1)和count(*)和count(field)的区别

1.COUNT(*) 计算所有行的数量&#xff0c;包括那些含有 NULL 值的行。 它是最全面的计数方法&#xff0c;因为它不需要访问任何具体的列数据&#xff0c;只是简单地计算行数。 在大多数情况下&#xff0c;COUNT(*) 是最快的&#xff0c;尤其是在使用索引的情况下&#xff0c;…

大气热力学(3)——干空气与湿空气

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记&#xff0c;现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记&#xff0c;电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。 文章目录 3.0 本文所用符号一览3.1 干空气与湿空气的概念3.2 干空气的状态…

kubeadm快速部署k8s集群

文章目录 Kubernetes简介1、k8s集群环境2、linux实验环境初始化【所有节点】3、安装docker容器引擎【所有节点】4、安装cri-dockerd【所有节点】5、安装 kubeadm、kubelet、kubectl【所有节点】6、部署 k8s master 节点【master节点】7、加入k8s Node 节点【node节点】8、部署容…