单位立方体各个面上的法向量，向量场 $\mathbf{F}=(x,y,z)$ 以及每个面上的通量

flyfish
假设我们有一个单位立方体，向量场 $\mathbf{F}=(x,y,z)$ 在该立方体上。

1. 法向量 ：单位立方体的每个面都有一个法向量。例如：

• 在 $x=1$ 的面上，法向量为 $\mathbf{n}=(1,0,0)$。

• 在 $y=1$ 的面上，法向量为 $\mathbf{n}=(0,1,0)$。

• 在 $z=1$ 的面上，法向量为 $\mathbf{n}=(0,0,1)$。

2. 通量 ：计算向量场 $\mathbf{F}$ 穿过每个面的通量：

• 在 $x=1$ 的面上，通量为：
  $${\iint }_{\text{面 }x=1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iint }_{\text{面 }x=1}(1,y,z)\cdot (1,0,0)dydz={\iint }_{\text{面 }x=1}1dydz=1$$

类似地，在其他面上计算得到的通量分别为1，总的通量为6（因为单位立方体有6个面，每个面上的通量为1）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Poly3DCollection
from matplotlib.animation import FuncAnimation, PillowWriter# 创建单位立方体的顶点
vertices = np.array([[0, 0, 0],[1, 0, 0],[1, 1, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 1],[1, 0, 1],[1, 1, 1],[0, 1, 1]])# 定义单位立方体的各个面
faces = [[vertices[j] for j in [0, 1, 2, 3]],  # z=0[vertices[j] for j in [4, 5, 6, 7]],  # z=1[vertices[j] for j in [0, 3, 7, 4]],  # y=0[vertices[j] for j in [1, 2, 6, 5]],  # y=1[vertices[j] for j in [0, 1, 5, 4]],  # x=0[vertices[j] for j in [2, 3, 7, 6]]]  # x=1# 定义单位立方体各个面的法向量
normals = np.array([[0, 0, -1],[0, 0, 1],[0, -1, 0],[0, 1, 0],[-1, 0, 0],[1, 0, 0]])# 定义向量场 F = (x, y, z)
def vector_field(x, y, z):return np.array([x, y, z])# 创建动画
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.set_xlim(-0.5, 1.5)
ax.set_ylim(-0.5, 1.5)
ax.set_zlim(-0.5, 1.5)def update(frame):ax.clear()ax.set_xlim(-0.5, 1.5)ax.set_ylim(-0.5, 1.5)ax.set_zlim(-0.5, 1.5)face = faces[frame]normal = normals[frame]poly3d = [[face[0], face[1], face[2], face[3]]]ax.add_collection3d(Poly3DCollection(poly3d, alpha=0.5, color='cyan'))center = np.mean(face, axis=0)ax.quiver(center[0], center[1], center[2], normal[0], normal[1], normal[2], color='red', length=0.5)# 绘制向量场X, Y, Z = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, 2), np.linspace(0, 1, 2), np.linspace(0, 1, 2))U, V, W = vector_field(X, Y, Z)ax.quiver(X, Y, Z, U, V, W, color='blue', alpha=0.3)ax.text2D(0.05, 0.95, f"Face {frame+1} with Normal Vector", transform=ax.transAxes)ax.text2D(0.05, 0.90, "Red Arrow: Normal Vector", transform=ax.transAxes, color='red')ax.text2D(0.05, 0.85, "Blue Arrows: Vector Field F = (x, y, z)", transform=ax.transAxes, color='blue')ax.text2D(0.05, 0.80, f"Flux through face: {np.dot(vector_field(center[0], center[1], center[2]), normal)}", transform=ax.transAxes)ax.set_xlabel('X')ax.set_ylabel('Y')ax.set_zlabel('Z')ani = FuncAnimation(fig, update, frames=len(faces), repeat=True,interval=1000)
writer = PillowWriter(fps=1)
ani.save('unit_cube_normals_flux.gif', writer=writer)plt.show()