【信息学奥赛】CSP-J/S初赛06 算法基础及时间/空间复杂度等问题

本专栏👉CSP-J/S初赛内容主要讲解信息学奥赛的初赛内容，包含计算机基础、初赛常考的C++程序和算法以及数据结构，并收集了近年真题以作参考。

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1 算法的定义

2 算法的特征

3 算法复杂度

空间复杂度

时间复杂度

4 计算简单程序的时间复杂度

5 计算复杂程序的时间复杂度

6 时间复杂度的计算规则

1 算法的定义

算法是一组有序的、确定的、可执行的操作步骤，用于解决特定问题或完成特定任务。它可以被看做是一种计算机处理的过程，将一些输入数据转换为需要的输出结果。

算法通常包含了输入、输出、处理流程、控制结构等要素，通过精心设计可以高效地实现各种计算、搜索、排序、优化、数据挖掘等任务。

算法是计算机科学和信息技术领域中重要的基础知识之一，对于软件开发、数据分析、人工智能等方面都有着广泛的应用。

2 算法的特征

算法有以下几个特征：

1. 有限性（有穷性）：算法必须是有限的，也就是说，它必须在有限的时间内完成。

2. 确定性（确切性）：算法中每一步骤必须是明确的，无歧义的。同样的输入，必须得到同样的输出。

3. 可行性：算法中的每个步骤必须是可行的，也就是说，可以通过计算机或其他工具来实现。

4. 输入：算法应该明确其输入，也就是待处理的数据。

5. 输出：算法应该明确其输出，也就是处理完输入数据后的结果。

3 算法复杂度

同一个问题可以用不同的算法来解决，而一个算法质量的优劣将影响到程序的效率。算法分析的目的在于选择合适的算法和改进算法。对于算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

空间复杂度

空间复杂度指的是一个算法在运行过程中所需的内存空间大小，通常用空间复杂度来衡量算法对计算机资源的利用程度。

算法在时间的高效性和空间的高效性之间通常是矛盾的，所以一般会取一个平衡点。通常会假设程序运行在足够大的内存空间中，来研究算法的时间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度指的是一个算法在运行过程中所需的计算时间大小，通常用时间复杂度来衡量算法对计算机资源的利用程度。时间复杂度表示的是算法执行时间与输入数据规模之间的关系。

时间复杂度通常用大O符号表示，表示算法所需最长时间与输入数据规模之间的关系。例如，一个时间复杂度为O(n)的算法表示在最坏情况下，随着输入数据规模的增加，算法所需的执行时间也会以线性的方式增长。

常见的时间复杂度从低到高依次为：O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n²)、O(n³)。当然还有更高阶的时间复杂度，但它们往往不太常见。

在实际应用中，我们通常希望选择时间复杂度越小的算法来解决问题，这样可以提高程序的效率，节省计算机资源。

（常见的时间复杂度对比图）

4 计算简单程序的时间复杂度

计算一个简单程序的时间复杂度，需要分析程序中循环语句、条件判断语句、函数调用等代码块的执行次数。下面以一个简单的C++程序为例，来演示时间复杂度的计算过程：

以上程序中，用于计算时间复杂度的是for循环语句。根据循环语句的定义，可以得到程序的时间复杂度为O(n)，其中n为输入的数值。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{int n;cin >> n;int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++){sum += i;}cout << "sum = " << sum << endl;return 0;
}

具体分析过程如下：

1. 第1行的cin >> n;语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)；

2. 第2行的int sum = 0;语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)；

3. 第3~6行的for循环语句执行次数为n次，时间复杂度为O(n)；

4. 第7行的cout << "sum = " << sum << endl;语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)；

5. 第8行的return 0;语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)。

因此，以上程序的时间复杂度为O(n)。

5 计算复杂程序的时间复杂度

计算稍微复杂的C++程序时间复杂度，首先需要了解各个代码块（如循环语句、条件判断语句、函数调用等）的执行次数，然后根据执行次数的总和来计算时间复杂度。下面以一个稍微复杂的C++程序为例，来演示时间复杂度的计算过程：

#include <iostream>
using namespace std;
int func(int n)
{int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){sum += i * j;}}return sum;
}int main()
{int n;cin >> n;cout << "sum = " << func(n) << endl;return 0;
}

以上程序包含了一个计算二重循环中每项乘积之和的函数`func`，以及在主函数中调用`func`计算并输出答案。其中，用于计算时间复杂度的是`func`函数中的二重循环语句。

具体分析过程如下：

1. 在`func`函数中，第2行的`int sum = 0;`语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)；

2. 在`func`函数中，第3~6行的二重循环语句执行次数为n²次，时间复杂度为O(n²)；

3. 在`func`函数中，第7行的`return sum;`语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)；

4. 在主函数中，第2行的`cin >> n;`语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)；

5. 在主函数中，第3行的`cout << "sum = " << func(n) << endl;`语句顺序执行一次，时间复杂度为O(n²)；

6. 在主函数中，第4行的`return 0;`语句顺序执行一次，时间复杂度为O(1)。

因此，以上程序的时间复杂度为O(n²)。