目标函数和约束函数均为线性函数的最优化问题
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t. }{\mathbf{A}}_{iq}\mathbf{x}\le {\mathbf{b}}_{iq}\\ {\mathbf{A}}_{eq}\mathbf{x}={\mathbf{b}}_{eq}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}(1)$$
称为线性规划问题。其中，$\mathbf{c},\mathbf{x}\in {\text{R}}^n$，${\mathbf{A}}_{iq}\in {\text{R}}^{m_i\times n}$，${\mathbf{b}}_{iq}\in {\text{R}}^{m_i}$，${\mathbf{A}}_{eq}\in {\text{R}}^{m_e\times n}$，${\mathbf{b}}_{eq}\in {\text{R}}^{m_e}$。问题的可行域 Ω = { x ∣ A i q x ≤ b i q , A e q x = b e q , x ≥ o } \Omega=\{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{A}_{iq}\boldsymbol{x}\leq\boldsymbol{b}_{iq},\boldsymbol{A}_{eq}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}_{eq},\boldsymbol{x}\geq\boldsymbol{o}\} Ω={x∣Aiq​x≤biq​,Aeq​x=beq​,x≥o}，称为单纯形。为便于数值计算，常需要将上述线性规划的一般形式通过引入松弛变量转换为与之等价的标准型：
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t.}\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}(2)$$
其中，$\mathbf{c},\mathbf{x}\in {\text{R}}^n$，$\mathbf{A}\in {\text{R}}^{m\times n}$，$\mathbf{b}\in {\text{R}}^m$且$\mathbf{b}\ge \mathbf{o}$。所谓引入松弛变量，指的是在不等式约束${\mathbf{A}}_{iq}\mathbf{x}\le {\mathbf{b}}_{iq}$添加$m_i$个分量构成的非负向量${\mathbf{x}}_s\ge \mathbf{o}$，转换成等式约束 $$({\mathbf{A}}_{iq},{\mathbf{I}}_{m_i})\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ {\mathbf{x}}_s\end{array}\right)={\mathbf{b}}_{iq}.$$
然后在等式约束${\mathbf{A}}_{eq}\mathbf{x}={\mathbf{b}}_{eq}$改写成
$$({\mathbf{A}}_{eq},{\mathbf{O}}_{m_e\times m_i})\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ {\mathbf{x}}_s\end{array}\right)={\mathbf{b}}_{eq}.$$
记${\mathbf{A}}_{Up}=({\mathbf{A}}_{iq},{\mathbf{I}}_{m_i})$，${\mathbf{A}}_{Lo}=({\mathbf{A}}_{eq},{\mathbf{O}}_{m_e\times m_i})$，令$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_{Up}\\ {\mathbf{A}}_{Lo}\end{array}\right)$，$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ {\mathbf{x}}_s\end{array}\right)$，$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_{iq}\\ {\mathbf{b}}_{eq}\end{array}\right)$，则得到与线性规划(1)等价的标准形式(2)，必要时，须维护向量$\mathbf{b}$的非负性。下列代码实现以上标准化过程。

import numpy as np											#导入numpy
def standardizing(Aiq=None, biq=None, Aeq=None, beq=None):if isinstance(Aiq, np.ndarray):							#不等式约束非空mi = Aiq.shape[0]A = np.hstack((Aiq.copy(), np.eye(mi)))				#添加松弛变量b = biq.copy()										#常数向量else:													#不等式约束为空A = Noneb = Noneif isinstance(Aeq, np.ndarray):							#等式约束非空me = Aeq.shape[0]if isinstance(A, np.ndarray):						#与不等式约束连接A = np.vstack((A, np.hstack((Ae, np.zeros((me, mi))))))b = np.concatenate((b, beq), axis = 0)else:												#只有等式约束A = Aeq.copy()b = beq.copy()if isinstance(A, np.ndarray):							#维护常数向量的非负性m = A.shape[0]for i in range(m):if b[i] < 0:b[i] = -b[i]A[i] = -A[i]return A, b

程序的第2~24行定义的standardizing函数，对分别用Aiq，biq，Aeq，beq（缺省值为表示空集的None）表示的不等式约束系数矩阵${\mathbf{A}}_{iq}$，常数向量${\mathbf{b}}_{iq}$，等式约束系数矩阵${\mathbf{A}}_{eq}$，常数向量${\mathbf{b}}_{eq}$的线性规划(1)。
函数体内第3~9行的if-else语句，处理不等式约束。当其非空时，第5行通过在其右侧添加一个单位阵赋予A，执行添加$m_i$个松弛变量的操作。第6行将biq拷贝给b。第10~17行的if-else语句处理等式约束。当其非空且不等式约束也非空时，第13行将在其右侧添加一个$m_i\times m_e$的零矩阵，并与第5行由不等式约束添加了松弛变量而得的矩阵A纵向连接赋予A，第17行将向量biq与beq连接赋予b。第20~23行的for循环维护向量b的非负性。返回值A和b表示标准型的约束系数矩阵$\mathbf{A}$和常数向量$\mathbf{b}$。
例1 用上述程序定义的standardizing函数计算线性规划
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}3x_1-2x_2+x_3\\ \text{s.t. }2x_1+x_2-x_3\le 5\\ 4x_1+3x_2+x_3\ge 3\\ -x_1+x_2+x_3=2\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}$$
的标准型等式约束矩阵和常数向量。
解：问题的不等式约束矩阵和常数向量为
$${\mathbf{A}}_{iq}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& -3& -1\end{array}\right),{\mathbf{b}}_{iq}=\left(\begin{array}{c}5\\ -3\end{array}\right)$$
注意，第二个“大于等于”条件需转换成“小于等于”条件。等式约束系数矩阵和常数向量为
$${\mathbf{A}}_{eq}=(-1,1,1),{\mathbf{b}}_{eq}=(2).$$
下列代码完成计算。

import numpy as np									#导入numpy
from fractions import Fraction as F					#设置有理数输出格式
np.set_printoptions(formatter={'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
Ai = np.array([[2, 1, -1],							#不等式约束数据[-4, -3, -1]])
bi = np.array([5, -3])
Ae = np.array([[-1, 1, 1]])							#等式约束数据
be = np.array([2])
print(standardizing(Ai, bi, Ae, be))

程序的第2~4行设置输出的数据为有理数格式。第5~7行设置不等式约束数据，第8~9行设置等式约束数据。第10行中调用standardizing函数执行转换计算。运行程序，输出

(array([[2, 1, -1, 1, 0],[4, 3, 1, 0, -1],[-1, 1, 1, 0, 0]]), array([5, 3, 2]))

这意味着标准型的约束系数矩阵为$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& -1& 1& 0\\ 4& 3& 1& 0& -1\\ -1& 1& 1& 0& 0\end{array}\right)$，常数向量$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 2\end{array}\right)$，即对应的标准型线性规划是
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}3x_1-2x_2+x_3\\ \text{s.t. }2x_1+x_2-x_3+x_4=5\\ 4x_1+3x_2+x_3-x_5=3\\ -x_1+x_2+x_3=2\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge 0\end{array}.$$
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