蒙特卡洛法求定积分方

对于连续函数密度函数,求某一个区间的概率时,理论上通过积分获取,

以求曲线围成的面积为例

当我们在[a,b]之间随机取一点x时,它对应的函数值就是f(x)。接下来我们就可以用f(x)*(b-a)来粗略估计曲线下方的面积,也就是我们需要求的积分值,当然这种估计(或近似)是非常粗略的。

那么在[a,b]之间随机选取四个点,做四次采样,

在此图中,做了四次随机采样,得到了四个随机样本xlx2x3,x4,并且得到了这四个祥本的f(x)的値分別为f(x1)f(x2)f(x3)f(x4).对于这四个样本,毎个样本能求一个近似的面积値,大小为f(xi)*(b-a).对照图下面那部分很容易理解,毎个样本都是对原函数f的近似,所以我们认为f(x)的值一直都等于f(xi)

按照图中的提示,求出上述面积的数学期望,就完成了蒙特卡洛积分。如果用数学公式表达上述过程:

即计算期望

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