最大团问题--回溯法

一、相关定义

        给定一个无向图 G=(V,E),其中 V 是图的顶点集,E图的边集

        完全图:如果无向图中的任何一对顶点之间都有边,这种无向图称为完全图

        完全子图:给定无向图 G=(V,E),如果 U\subseteq V,且对应任意 u,v\subseteq U 且 (u,v)\subseteq E,则称U是G的完全子图。(即完全子图中的任意两个顶点之间都有边)

        团(最大完全子图):U 是 G 的团当且仅当 U 不包含在G的更大完全子图中。若存在一个最大完全子图包含U,那么 U 不是一个团。

        最大团:G 中所包含顶点数最多的团

        最大团问题是一个NP-C问题,无法在多项式时间内求出最大团,通常只能在数据规模较小的情况下适用。

二、回溯法

        算法思路:通过回溯的方法考虑每个顶点是否加入最大团的情况,因此算法的时间复杂度为 O(2^{n})

        首先设最大团为一个空团,往其中加入一个节点,然后依次考虑每个节点,查看该节点是否能够加入团(判断方法:该节点应当与团内每一个节点有一条边),随后向下一节点搜索,直至递归所有节点并回溯结束。

        剪枝策略:如果剩下未考虑的节点n加上当前团内的节点数小于此时计算的最大团节点数,则不需要再进行搜索。

        对于一个无向图 G={V,E}

可以看出最大团为 { 1 , 2 , 5 } { 1 , 4 , 5 }  { 2 , 3 , 5 } 即最大团不唯一。对于一个完全子图{1,2},不是一个团,因为存在包含 {1,2} 的更大的完全子图 {1,2,5}    (区分完全子图和团)

下图:左子树时表示考虑节点i加入团中 , 右子树则不在团中        

        cn为当前团中在节点个数,bestn当前最大团中在节点个数

        

 ① 考虑 节点1 时加入当前团时,符合团的条件,则继续深搜考虑节点2,(1,2)之间存在边,符合团的条件,则继续深搜考虑 节点3 ,由于 节点3 与 节点1 之间不存在边,所以 3 不能加入团中,因此不能将 节点3 加入团中,再考虑节点 4 同理(与 节点2 不存在边),继续考虑节点5,符合团在条件,此时不能够继续搜索了,保存当前团 {1,2,5}。

        上述过程搜索前,还需判断( cn+n-i>=bestn ),此时可以认为,即使剩下节点都考虑,最大团的节点数还是小于等于当前最大团在节点数。

② 回溯考虑其他情况,当不考虑 节点2 加入团中,往深处搜索,此时(cn+n-i<=bestn),无需再深搜考虑,其他情况同理。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn=101;
int a[maxn][maxn];	//邻接矩阵
int x[maxn];
int cn,bestn,n,m;
void backtrack(int i)
{if(i>n) // 搜索完所有节点 {bestn=cn;printf("%d\n",bestn);for(int j=1;j<=n;j++){/*if(x[j]==1)printf("%d ",j);*/printf("%d ",x[j]);}printf("\n");return;}int flag=1; // 判断是否与团中节点都相连for(int j=1;j<i;j++){if( x[j] && !a[j][i])//i与j不相连{flag=0;break;}}if(flag==1)	//进入左子树{cn++;x[i]=1;backtrack(i+1);cn--;x[i]=0;}if(cn+n-i>bestn)  //剪枝{backtrack(i+1);}
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){ int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);a[u][v]=1;a[v][u]=1;}backtrack(1);return 0;
}

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