【数据结构与算法】顺序查找、折半查找、分块查找

文章目录

顺序查找
- 实现
- 对有序表的顺序查找
二分查找（折半查找）
- 实现
- 二分查找判定树
分块查找（索引顺序查找）
- 最理想的分块情况

顺序查找

顺序查找，又叫线性查找。适用于线性表。它的核心思路是从线性表的一端开始，逐个检查关键字是否满足给定条件。若满足条件，则返回下标。若已经查找到了线性表的另一端，但还没有找到符合给定条件的元素，则返回查找失败。

简述就是，从头到尾扫一遍，有要找的元素就返回下标，没有就返回没有

实现

// C++struct List
{int len;int *items;
};int find(List &list, int aim){for(int i = 0; i< list.len; i++){if(aim == list.items[i]) return i;}return -1;
}

对于顺序查找来说，它的执行时间与线性表的长度 n 有关，时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

假设使用顺序查找，查找元素在长度为 n 线性表中的位序为 i。那么找到这个元素需要进行 n - i + 1 次关键字的比较。即 $C_i=n-i+1$

那么查找成功时，顺序查找的平均查找长度为 $ASL=\sum_{i=1}^nP_iC_i=\sum_{i=1}^nP_i(n-i+1)$

若每个元素查找的概率 $P_i$ 相同，即 $P_i=1/n$ 时，有 $A S L = (n + 1) /2$ 。

查找不成功时，平均查找长度为 n + 1。

对有序表的顺序查找

如果一个线性表是有序的，那么我们就可以通过比较来提前终止查找，而不是一定要从头到尾扫一遍线性表。

例如：

如果查找元素小于两端元素或大于两端元素，那么我们可以直接返回失败。因为查找元素在线性表元素区间之外。
在查找的过程中，找到了一个比待查找元素大的元素（按从小到大到的顺序遍历）或找到了一个比待查找元素小的元素（按从大到小的顺序遍历），也可以直接返回。

二分查找（折半查找）

二分查找是在对有序表的顺序查找上进行了扩展，但是只适用于适用顺序存储结构的线性表。因为链式结构的线性表无法在 O(1)的时间内读取到元素。

二分查找的核心思路是，不断地划分区间，直至找到元素或区间不可再划分。

例如：

假设我们在有序顺序表 1 3 5 7 9 11 13 15 中查找元素 3。

那么第一次，判断中位数与关键字的大小，中位数为 7（共有 8 个元素，元素下标为 0 到 7，因为计算机中两个整形数相除还是整形数，可能会丢失精度，所以中位数的下标为 $(0 + 7) /2 = 3$ ，3 号位上的元素为 7），3 比 7 小，所以在下标为[0, 3)这个区间内查找，即在[0,2]区间内查找。

第二次，判断中位数与关键字的大小，中位数的位序为 $(0 + 2) /2 = 1$ ，1 位序上的数为 3，等于查找元素。直接返回位序 1。

实现

int binary_search(List &list, int aim)
{int left = 0, right = list.len - 1; // 初始的左右区间int mid;                            // 中位数while (left <= right){mid = (left + right) >> 1; // 右移一位，等于（left + right）/2if (list.items[mid] == aim)return mid;else if (list.items[mid] > mid)right = mid - 1;elseleft = mid + 1;}
}

如果使用的是 C++且不想自己手写二分，那么可以直接用 C++标准库中提供的二分函数。（对于考研人来说还是不要用了，因为不能保证改卷老师知道 C++标准库里有二分函数）

#include <algorithm>int binary_search(List &list, int aim)
{int index = std::lower_bound(list.items, list.items + list.len, aim) - list.items;if(list.items[index] == aim) return index;else return -1;
}