A.Alice and Books（思维）

题意：

爱丽丝有$n$本书。第$1$本书包含$a_1$页，第$2$本书包含$a_2$页，$\dots$第$n$本书包含$a_n$页。爱丽丝的操作如下：

• 她把所有的书分成两个非空的书堆。这样，每本书最后都会被恰好放在两堆书中的一堆里。
• 爱丽丝阅读每一堆中编号最高的一本书。

爱丽丝非常喜欢阅读。帮她找出把书分成两堆后，她最多可以阅读的总页数。

分析：

观察题目很容易看出来，最后一个数字是必须取的，用前$n-1$个数字的最大值加上最后一个值求和即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 110;
int a[N];void solve() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> a[i];}int ans = a[n];int ans2 = 0;for (int i = 1; i < n; ++i) {ans2 = max(ans2, a[i]);}cout << ans + ans2 << endl;
}int main() {int t;cin >> t;while (t--)solve();return 0;
}

B.New Bakery（数学）

题意：

鲍勃决定开一家馒头店。开业当天，他烤出了$n$个可以出售的馒头。通常一个馒头的价格是$a$个硬币，但为了吸引顾客，鲍勃组织了以下促销活动：

• 鲍勃选择某个整数$k$($0\le k\le \min (n,b)$)。
• 鲍勃以修改后的价格出售第一批$k$个馒头。在这种情况下，售出的$i$（$1\le i\le k$）个馒头的价格是$(b-i+1)$个硬币。
• 剩下的$(n-k)$个馒头以每个$a$个硬币的价格出售。

注意$k$可以等于$0$。在这种情况下，鲍勃将以每个$a$硬币的价格出售所有的馒头。

帮助鲍勃确定出售所有$n$个馒头所能获得的最大利润。

分析：

首先当$a\ge b$时，$k$取$0$即可。

当$a<b$时，要想使利润尽可能大，必须满足前$k$天的利润都比$a$大，即要满足$b-k\ge a$。可以得出$k$最大为$b-a$，然后计算即可。

注意$k$需要满足不超过$min(n,b)$的限制，所以最终$k=min(n,b-a)$，答案为$\frac{(b+b-k+1)k}{2}+(n-k)a$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;void solve() {LL n, a, b;cin >> n >> a >> b;if (a >= b) {cout << n * a << endl;return;}LL k = min(n, b - a);cout << (b + b - k + 1) * k / 2 + a * (n - k) << endl;
}int main() {int t;cin >> t;while (t--)solve();return 0;
}

C.Manhattan Permutations（构造）

题意：

让我们把排列${}^{†}$的曼哈顿值$p$表示为$|p_1-1|+|p_2-2|+\dots +|p_n-n|$的值。

例如，对于排列$[1,2,3]$，曼哈顿值为$|1-1|+|2-2|+|3-3|=0$，而对于排列$[3,1,2]$，曼哈顿值为$|3-1|+|1-2|+|2-3|=2+1+1=4$。

给你整数$n$和$k$。请找出长度为$n$的排列$p$使其曼哈顿值等于$k$，或者确定不存在这样的排列。

${}^{†}$长度为$n$的排列是一个数组，由$n$个不同的整数组成，这些整数从$1$到$n$按任意顺序排列。例如，$[2,3,1,5,4]$是一个排列，但$[1,2,2]$不是一个排列（$2$在数组中出现了两次），$[1,3,4]$也不是一个排列（$n=3$，但数组中有$4$）。

分析：

首先我们可以发现，排列$p$的哈曼顿值一定为偶数，不存在为奇数的情况。

因此无解的情况有两种：

• $k$为奇数或者
• 超过排列$p$的最大哈曼顿值

对于有解的情况，考虑构造。
首先，令我们要得到的排列$p$为单调递增的，也就是$p_i=i(1\le i\le n)$，那么此时$p$的哈曼顿值为$0$。很明显，如果在此基础上交换两个数$x,y$，那么$p$的哈曼顿值便会增加$2\times \mid x-y\mid$。也就是说，可以将一些数字两两配对，由于它们所产生的贡献值是互不干扰的，所以相当于是将$\frac{k}{2}$拆分成若干个不超过$n-1$，且互不相等的数的和。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;
const LL N = 200010;
const LL MOD = 998244353;
LL a[N];void solve() {LL n, k;cin >> n >> k;if (k % 2 == 1)cout << "No" << endl;else {LL ans = 0;for (LL i = 1, j = n; i <= n; i++, j--) {a[i] = i;ans += abs(j - i);}if (k > ans)cout << "No" << endl;else {LL x = k / 2;for (LL i = 1, j = min(x, n - 1);; i++) {swap(a[i], a[i + j]);x -= j;j = min(x, n - 2 * i - 1);if (!x)break;}cout << "Yes" << endl;for (LL i = 1; i <= n; i++)cout << a[i] << " ";cout << endl;}}
}int main() {LL t;cin >> t;while (t--)solve();return 0;
}

D.Elections（贪心）

题意：

伯兰正在举行选举。有$n$名候选人参加选举，编号从$1$到$n$。第$i$名候选人有$a_i$名粉丝会投票给他。此外，还有$c$人对自己喜欢的候选人举棋不定，我们姑且称他们为 “举棋不定者”。未决定的人会把票投给编号最小的候选人。

获得最高票数的候选人赢得选举，如果多个候选人获得相同的最高票数，则其中票数最低的候选人获胜。

您觉得这些选举太无聊且难以预测，因此决定将一些候选人排除在外。如果您不允许$i$号候选人参加选举，那么他的所有$a_i$个粉丝都会变得犹豫不决，并将票投给编号最小的候选人。

你很想知道，从$1$到$n$的每个$i$中，第$i$号候选人要想赢得选举，至少需要排除多少个候选人。

分析：

直接把$c$加到$a_1$上，之后求出$a$中最靠前的最大值编号$k$，显然$k$的答案为$0$。

考虑其他$x$的答案。由于$a_x$本身不是最大值，即使是排除目前最大的$a_k$，这一部分也会加到编号最小的$a_i$上，最大值一定不降。所以至少要将$x$之前的$x-1$个人全部排除，才能使$x$为编号最小，增加$a_x$让其最大。

所以维护$a$的前缀和$s$，若$s_x\ge a_k$，只需要把前面全去掉即可，答案为$x-1$。否则需要把前面全去掉，并且把$x$后面的最大值$a_k$也去掉，答案为$x$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;
const LL N = 2e5 + 10;
const LL MOD = 998244353;
LL n, c, a[N], s[N];void solve() {cin >> n >> c;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];a[1] += c;LL maxx = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {s[i] = s[i - 1] + a[i];if (a[maxx] < a[i])maxx = i;}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i == maxx) {cout << "0" << " ";} else {if (s[i] >= a[maxx]) {cout << i - 1 << " ";} else {cout << i << " ";}}}cout << endl;
}int main() {LL t;cin >> t;while (t--)solve();return 0;
}

E.Computing Machine（贪心、数学）

题意：

萨沙有两个长度相同的二进制字符串$s$和$t$，长度为$n$，由字符"0"和"1"组成。

还有一台计算器可以对长度相同的二进制字符串$a$和$b$进行两种运算$k$：

1. 如果$a_i=a_{i+2}=0$，则可以赋值$b_{i+1}:=1$($1\le i\le k-2$)。
2. 如果$b_i=b_{i+2}=1$，则可以赋值$a_{i+1}:=1$($1\le i\le k-2$)。

萨沙对下面的问题产生了兴趣：如果我们考虑字符串$a=s_l{s}_{l+1}\dots s_r$和字符串$b=t_l{t}_{l+1}\dots t_r$，那么使用计算器最多可以在字符串$a$中得到多少个"1"字符。由于萨沙非常好奇但很懒惰，所以由你来回答他感兴趣的几对字符串$(l_i,r_i)$的问题。

分析：

对于区间，寻找最优操作方案，我们贪心地考虑，先用$s$的$0$增加$t$的$1$，再用$t$的$1$使$s$的$1$变多，这样做一定是最优的，保证了第一步之后$t$中的$1$最多，从而最终$s$中的$1$也最多。

接着我们考虑每一位会怎样被改变。若$s_i$被变为$1$，需要$t_{i-1}=1$，同时$t_{i+1}=1$和$t$的这两位又会受到$s_{i-2},s_i,s_{i+2}$的影响，所以对于每一位$s_i$，都只会受到$[i-2,i+2]$区间内的影响。

因此可以提前对整个区间进行操作，并对最终的$s$求前缀和。对于询问长度不超过$4$的情况暴力操作求解。超过$4$时由于$[l+2,r-2]$只受区间$[l,r]$内的影响，答案不变，记录下原来的答案，再单独对$[l,l+4]$操作并记录前两位的答案，然后对$[r-4,r]$操作并记录后两位的答案，最后三部分相加即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
LL n, q, pre[N], s[N], t[N], t1[N], t2[N];
char ss[N], st[N];void deal(int l, int r) {int len = r - l + 1;for (int i = l; i <= r; i++) {t1[i - l + 1] = s[i];t2[i - l + 1] = t[i];}for (int i = 1; i + 2 <= len; i++) {if (!t1[i] && !t1[i + 2])t2[i + 1] = 1;}for (int i = 1; i + 2 <= len; i++) {if (t2[i] && t2[i + 2])t1[i + 1] = 1;}for (int i = 1; i <= len; i++)t1[i] += t1[i - 1];
}void solve() {cin >> n >> ss >> st >> q;for (int i = 1; i <= n; i++) {s[i] = ss[i - 1] - '0';t[i] = st[i - 1] - '0';}deal(1, n);for (int i = 1; i <= n; i++)pre[i] = t1[i];while (q--) {LL l, r;cin >> l >> r;if (r - l < 4) {deal(l, r);cout << t1[r - l + 1] << endl;} else {int res = pre[r - 2] - pre[l + 1];deal(l, l + 4);res += t1[2];deal(r - 4, r);res += (t1[5] - t1[3]);cout << res << endl;}}
}int main() {int T;cin >> T;while (T--)solve();return 0;
}

F.Large Graph（并查集）

题意：

给定一个长度为$n$的数组$a$。我们来构造一个大小为$n\times n$的方阵$b$，其中第$i$行包含了循环右移$(i-1)$的数组$a$。例如，对于数组$a=[3,4,5]$，得到的矩阵是

$$b=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 5& 3& 4\\ 4& 5& 3\end{array}\right]$$

让我们构建下面的图形：

• 该图包含$n^2$个顶点，每个顶点对应矩阵中的一个元素。我们把元素$b_{i,j}$对应的顶点记为$(i,j)$。
• 我们将在顶点$(i_1,j_1)$和$(i_2,j_2)$之间画一条边，如果$|i_1-i_2|+|j_1-j_2|\le k$和$\gcd (b_{i_1,j_1},b_{i_2,j_2})>1$，其中$\gcd (x,y)$表示整数$x$和$y$的最大公约数)。

你的任务是计算所得图形中的连通块数${}^{†}$。

${}^{†}$图中的连通块是一个顶点集合，在这个集合中，任何顶点都可以通过边到达其他顶点，如果在这个集合中添加任何其他顶点，都会违反这一规则。

分析：

题目保证$k\ge 2$，说明斜着相邻的格子如果$gcd>1$，必定连边，很明显每个$a_i$在循环移位之后分成的至多两条全是$a_i$的斜线，所以除了数字为$1$的情况，对角线的斜线一定同属一个连通块。

相邻两条斜线的距离是$1$，由此我们可以把二维问题转为一维。使用$log$分解质因数，预处理每个数的质因子，对于每个质因数找到上一次出现的位置，如果距离$\le k$就有边，并查集维护连通性，特判$1$的情况即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10;
int p[N], s[N], tot, k, a[N], lst[N], fa[N];void init(int n) {for (int i = 2; i <= n; ++i) {if (!s[i])s[i] = p[++tot] = i;for (int j = 1; j <= tot && p[j] <= n / i; ++j) {s[i * p[j]] = p[j];if (!(i % p[j]))break;}}
}int n;
vector<int> used;
bool vis[N];
LL ans;int find(int x) {return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}void merge(int x, int y) {if (find(x) != find(y))fa[fa[x]] = fa[y];
}void solve() {cin >> n >> k;for (int i = n; i < n + n; ++i) {cin >> a[i];a[i - n] = a[i];}int tmp = n;n = (n << 1) - 1;for (int i = 1; i <= n; ++i)fa[i] = i;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int x = a[i];while (x != 1) {int now = s[x];int pre = lst[now];if (pre && i - pre <= k)merge(i, pre);lst[now] = i;while (!(x % now))x /= now;if (!vis[now]) {vis[now] = true;used.push_back(now);}}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (a[i] == 1)ans += tmp - abs(tmp - i);else if (find(i) == i)++ans;}cout << ans << endl;ans = 0;for (int x: used) {vis[x] = false;lst[x] = 0;}used.clear();
}int main() {init(1000000);int t;cin >> t;while (t--)solve();return 0;
}

赛后交流

在比赛结束后，会在交流群中给出比赛题解，同学们可以在赛后查看题解进行补题。

群号： 704572101，赛后大家可以一起交流做题思路，分享做题技巧，欢迎大家的加入。