堆(数据结构篇)

数据结构之堆(优先队列)

二叉堆

概念：

优先队列是一个根据优先性而先去执行操作的一种特殊队列，平常队列是先进先出，但是优先队列是根据优先级选择先出的元素。优先队列的主要操作有插入和删除最小值
堆(heap)通常是指二叉堆，因为二叉堆的使用次数最频繁，所以我们平常认为的堆就是二叉堆
二叉堆：二叉堆是由一颗完全二叉树实现的，完全二叉树是**一颗底层必须从左往右依次插入且底层以上的节点都是填满的树(最后一层也就是叶子节点可以不是填满的，但是已经插入的元素必须是从左到右的中间不空缺元素的)**称为完全二叉树
完全二叉树是一个很有规律的树，因此用一个动态数组实现是效率最好的选择，在动态数组中是按照从上到下从左到右依次插入数组中，数组下标为0处不放元素。
用数组实现的完全二叉树的性质有：
1. 对于数组中任意一个位置i上的元素，其左儿子在数组位置2i上，右儿子在左儿子后的单元也就是数组下标为(2i+1)的位置，它的父亲在i/2的位置上。
2. 数组下标为0的地方是不放我们要存的元素的

性质：

堆也就是通常认为的二叉堆(binary heap)，是由一颗完全二叉树实现的
堆中的主要操作有插入和删除最小值操作，堆的删除其实就是删除最小值而不是删除指定值
堆有堆序性质，也就是堆中的任意子树也是一个堆，因此任意节点就应该小于它的子节点，因为堆需要快速查找最小元，因此我们将最小元放在根节点上。
其结构体应该包含一个数组(动态)，堆中存储的有效元素个数，数组的容量以便于扩容

最大堆/大根堆：任意节点应该大于它的所有后裔

最小堆/小根堆：任意节点应该小于它的所有后裔

插入操作(上浮)：

先遵从堆从上到下，从左到右依次插入，我们将数据按照这个准则插入到数组。
然而，插入后，我们还需要进行检查这个堆是否有堆序性，如果没有就需要进行调整
插入数据跟根节点进行比较，如果根节点的值比插入数据大，就需要交换，然后一路向上检查比较，直到根节点。

删除操作(下沉)：

堆的删除操作是删除最小值的操作，而不是删除指定值的操作
我们创建堆时，都将最小值放到根节点，因此删除我们只需要将根节点删除掉
但是删除根节点后，我们的堆序性就无法保证，如何保证堆序性以及堆的性质(也就是完全二叉树的性质)呢
我们需要将根节点的值与叶子层的最右边元素进行交换，然后删除交换后处在叶子节点(也就是原来的根节点)的节点，然后让现在的根节点跟左右子节点的最小节点比较，如果大于就交换，直到检查到叶子节点，则就调整成功了。

构建堆

构建堆的操作就是将一个无序的树，构造成一个堆
一个堆满足完全二叉树的特性以及堆序性，因此我们需要对这个无序树进行调整，让其成为一个堆。

实现代码：

class heap{
public:heap(int maxsize){key=new int[maxsize+1];key[0]=0;for(int i=1;i<maxsize+1;i++){key[i]=0;}size=0;capacity=maxsize;}int find(int data){for(int i=1;i<size;i++){if(key[i]==data){return i;}}cout<<"没有找到"<<endl;return -1;}void adjust(int data){key[size+1]=data;int index=size+1;while(index>0){int i=index;index=index/2;if(key[index]>key[i]){int temp=key[index];key[index]=key[i];key[i]=temp;}}}void insert(int data){if(size==capacity){int *an=new int[2*capacity];capacity=capacity*2;for(int i=0;i<=size;i++){an[i]=key[i];}delete[] key;key=an;}if(key[1]==0){key[1]=data;}else{adjust(data);}size++;}void deladjust(int index){if(index*2<=size){int mn;if(key[index*2+1]==NULL){mn=index*2;}else if(key[index*2]>key[index*2+1]){mn=index*2+1;}else{mn=index*2;}if(key[index]>key[mn]){int temp=key[index];key[index]=key[mn];key[mn]=temp;}deladjust(mn);}return;}void delmin(){key[1]=key[size];key[size]=0;size--;deladjust(1);}void destroy(){for(int i=1;i<=size;i++){key[i]=0;}size=0;cout<<"成功清除堆中数据"<<endl;}void print(){int cnt=1,ans=1;for(int i=1;i<=size;i++){cout<<key[i]<<" ";if(i==ans){cout<<endl;ans=pow(2,cnt)+i;cnt++;}}}
private:int *key;    //动态数组，用来存储树节点的元素int size;    //堆中存在的有效元素个数int capacity;    //数组容量
};