关于归一化能量与归一化功率(连续与离散+1)

前言:
① 周期信号 与 直流信号 都是功率信号
②一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号,但不可能既是能量信号又是功率信号

在这里插入图片描述

归一化能量

对于一个连续时间信号 ( x(t) ),归一化能量 ( E ) 的定义为:
E = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t E = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt E=TlimTTx(t)2dt

对于一个离散时间信号 ( x[k] ),归一化能量 ( E ) 的定义为:
E = lim ⁡ N → ∞ ∑ k = − N N ∣ x [ k ] ∣ 2 E = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=-N}^{N} |x[k]|^2 E=Nlimk=NNx[k]2

归一化功率

对于一个连续时间信号 ( x(t) ),归一化功率 ( P ) 的定义为:
P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt P=Tlim2T1TTx(t)2dt

对于一个离散时间信号 ( x[k] ),归一化功率 ( P ) 的定义为:
P = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ k = − N N ∣ x [ k ] ∣ 2 P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |x[k]|^2 P=Nlim2N+11k=NNx[k]2

为什么乘以 ( \frac{1}{2T} ) 和 ( \frac{1}{2N+1} )

  1. 连续时间信号的归一化功率

在连续时间信号中,我们考虑的是信号在时间区间 ([-T, T]) 上的平均功率。因此,我们计算总能量后,乘以 ( \frac{1}{2T} ) 来得到平均功率:

P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt P=Tlim2T1TTx(t)2dt

其中 ( 2T ) 是区间的长度。

  1. 离散时间信号的归一化功率

在离散时间信号中,我们考虑的是信号在区间 ([-N, N]) 上的平均功率。由于离散信号的点是离散的,所以总的点数为 ( 2N+1 )。为了得到平均功率,我们计算总能量后,乘以 ( \frac{1}{2N+1} ):

P = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ k = − N N ∣ x [ k ] ∣ 2 P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |x[k]|^2 P=Nlim2N+11k=NNx[k]2

其中 ( 2N+1 ) 是区间内的点数。

实际例子解释

  • 连续信号 ( x(t) = C ):

    • 归一化能量:
      E = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T ∣ C ∣ 2 d t = lim ⁡ T → ∞ 2 C 2 T = ∞ E = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |C|^2 dt = \lim_{T \to \infty} 2C^2 T = \infty E=TlimTTC2dt=Tlim2C2T=
    • 归一化功率:
      P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ C ∣ 2 d t = lim ⁡ T → ∞ 2 C 2 T 2 T = C 2 P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |C|^2 dt = \lim_{T \to \infty} \frac{2C^2 T}{2T} = C^2 P=Tlim2T1TTC2dt=Tlim2T2C2T=C2
  • 离散信号 ( x[k] = 0.5^k ):

    • 归一化能量:
      E = lim ⁡ N → ∞ ∑ k = − N N ∣ 0. 5 k ∣ 2 = ∞ E = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=-N}^{N} |0.5^k|^2 = \infty E=Nlimk=NN∣0.5k2=
    • 归一化功率:
      P = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ k = − N N ∣ 0. 5 k ∣ 2 = ∞ P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |0.5^k|^2 = \infty P=Nlim2N+11k=NN∣0.5k2=

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