26 红黑树

概念

是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色，可以是red或black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长处两倍，因此是接近平衡的

在这里插入图片描述

性质

每个节点不是红色就是黑色
根节点是黑色的
如果一个节点时红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（不能有连续红色）
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点
每个叶子节点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）

第5条指的是空节点，方便数出二叉树的路径，上面的红黑树共有11条路径，每条路径都有2个黑色节点

最短路径：全黑
最长路径：一黑一红间隔
假设共有N个黑色节点，最短路径logN，最长路径2logN
假设每条路径都有N个黑色节点，每条路径的结点数量[N，2*N]之间

avl树是绝对平衡，红黑树是相对平横，最长路径不超过最短路径的2倍

节点定义

枚举一个颜色，红和黑，节点中加入颜色

enum color
{RED,BLACK
};template <class K, class V>
struct TreeNode
{struct TreeNode<K, V>* _parent;struct TreeNode<K, V>* _left;struct TreeNode<K, V>* _right;std::pair<K, V> _kv;color _col;TreeNode(std::pair<K, V> kv):_parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};

为什么节点默认是红色？
因为每条路径的黑色节点数量都必须相等，如果插入结点默认为黑色，就会对所有路径造成影响。如果是红色，最多只会影响自己所在的路径

红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中可以增加一个头结点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的pParent域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的结点，_pRight域指向红黑树最大的结点，如下，本节的实现不采用头结点
在这里插入图片描述

插入

红黑树是在二叉搜索树的基础上加入其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

插入结点

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <queue>enum color
{RED,BLACK
};template <class K, class V>
struct TreeNode
{struct TreeNode<K, V>* _parent;struct TreeNode<K, V>* _left;struct TreeNode<K, V>* _right;std::pair<K, V> _kv;color _col;TreeNode(std::pair<K, V> kv):_parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template <class K, class V>
class RBTree
{typedef TreeNode<K, V> node;
public:bool insert(const std::pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}node* parent = nullptr;node* cur = _root;while (cur){parent = cur;if (kv.first < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else{return false;}}//插入cur = new node(kv);cur->_parent = parent;if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}	}private:node* _root = nullptr;
};

检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲颜色是红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时分情况讨论：

约定：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

1.当a/b/c/d/e都是空，cur就是新增
在这里插入图片描述

2.c/d/e是每条路径1个黑色节点的红黑树，那么就是x/y/z/r中任意一种
在这里插入图片描述
cur更改，变为黑色节点，左右各连a和b节点，cur就是在a和b插入，就会失衡

cde共有444种可能，插入位置有4个，就是64*4=256种可能

3.当每条路径变为2个黑色节点的子树
在这里插入图片描述

第一个是C88，C87…C80，再加上下面两个，第一个2个红色节点是C42，可以换一边，就是C42*2，第二个是C44，如果这些是100种可能，c,d,e就有100³种可能，其他更不用算了

从上面所有肯能找出一种规律，解决插入的相关问题
如果插入结点的双亲是黑色，不需要处理，是红色时才需要下面内容

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
注意：此处看到的树，可能是一颗完整的树，也可能是一颗子树

上面的右边是左边变色而来，p和u变黑，g变红，就平衡了
如果g是根节点，调整完成后，需要改为黑色

如果g是子树的根，调整完成后，g的双亲如果是黑色，就要继续往上调整
在这里插入图片描述
解决方式，将p和u改为黑，g改为红，然后把g当做cur，继续向上调整

情况二，cur为红，p为红，g为黑，u不存在/存在且为黑

在这里插入图片描述
u的情况有两种：
1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4
2.如果u节点存在，则一定是黑色的，那么cur原来的颜色也是黑色，现在看到的红色是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色变为红色
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转，相反
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转

情况三，cur为红，p为红，g为黑，u不存在/存在且为黑

和情况二类似
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，旋转后变成了情况二，再右单旋转
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，旋转后变成了情况二，再左单旋转

在这里插入图片描述

调整

//父节点是红色调整
while (parent && parent->_col == RED)
{node* gdparent = parent->_parent;node* uncle;if (gdparent->_left == parent){uncle = gdparent->_right;//第一种情况 叔叔节点是红色,变色if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;gdparent->_col = RED;}//第二种情况 分左右//     g//  par  un// curelse{if (cur == parent->_left){RotateRight(gdparent);parent->_col = BLACK;gdparent->_col = RED;}//     g//  par  un//    curelse{RotateLeft(parent);RotateRight(gdparent);cur->_col = BLACK;parent->_col = RED;gdparent->_col = RED;}break;}}else{uncle = gdparent->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;gdparent->_col = RED;}else{if (cur == parent->_right){RotateLeft(gdparent);parent->_col = BLACK;gdparent->_col = RED;}//     g//  par  un//    curelse{RotateRight(parent);RotateLeft(gdparent);cur->_col = BLACK;//parent->_col = RED;gdparent->_col = RED;}break;}}cur = gdparent;parent = cur->_parent;
}//根必须是黑色
_root->_col = BLACK;
return true;

根节点在最后必须变为黑色，在函数最后部分统一改变
首先判断par在g的左边的三种情况，叔叔节点存在且是红色直接变色，更新节点向上。叔叔节点不存在或为黑色，判断cur在par的哪边，采取不同的旋转，然后改变节点颜色
par在g右边是相反

插入过程：
在这里插入图片描述

红黑树的验证

红黑树的验证分为两步：
1.检测是否满足二叉搜索树的（中序遍历是否有序序列）
2.检测是否满足红黑树的性质
先判断根节点是否为黑色，再记录一条路径黑色节点数量用来参考，递归红黑树，遇见黑色节点，黑色节点数量++。如果是红色节点，判断它的父节点是否为红色。遇到空，判断这条路径黑色节点数量和参考值是否一样

bool IsBalance()
{if (_root->_col == RED){std::cout << "根节点是红色" << std::endl;return false;}int refVal = 0;  //记录最左路径黑色节点的数量,用来参考node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){refVal++;}cur = cur->_left;}return _IsBalance(_root, 0, refVal);
}bool _IsBalance(node* cur, int blackNum, int refVal)
{if (cur == nullptr){//判断每条路径黑色节点数量正常if (blackNum != refVal){std::cout << "黑色节点数量不相等" << std::endl;return false;}return true;}if (cur->_col == BLACK){blackNum++;}if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED){std::cout << cur->_kv.first << " 连续红色节点" << std::endl;}return _IsBalance(cur->_left, blackNum, refVal) && _IsBalance(cur->_right, blackNum, refVal);
}

删除

参考《算法导论》或者《STL源码剖析》
https://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html

这里只提供思路
删除前部分内容和avl树都一样，如果删除的节点有两个孩子，就找前驱节点替换，这样所有情况都变成了删除节点只有一个孩子的情况，如果没有孩子也可以当做只有一个孩子处理

父亲节点称为par，删除节点del，孩子节点为child

第一种情况，删除的结点是红色，它如果有孩子一定是黑色，只需要将par链接到child
第二种情况，删除节点是黑色，child为红色，还是将par连接到child，将child改为黑色
第三种情况，删除节点是黑色，child也为黑色，这时考察del的兄弟节点，v有两种情况

情况1，v是黑色节点，v的左子女是w，根据w的颜色讨论：
下图g为祖父节点，u为del的child节点，v是del的兄弟节点，del节点在g的右孩子，删除后g连接到u
当删除了del时，g的右边ul和ur少了一个黑色节点，g的左边的每条路径wl，wr，vr都有相等的黑色节点

根据节点w的状态，有以下情况：
设平衡路径有2个黑色节点
1.w是红色节点，设wl，wr，vr都有2个黑色节点，wl，wr，vr中各有一个黑色节点，ul和ur无黑色节点。以g为中心右旋，vr接到g的左边，v变为红色，w和g改为黑色。此时，wl和wr里面各有1个黑色，w也是黑色，还是2个。vr中有1个黑色，加上g也是2个，u是黑色，g是黑色，ul和ur路径也是两个黑色节点

2.w是黑色节点，这时看w的有兄弟r节点，根据r分情况
① r是红色节点，通过一次先左后右的双旋，将g染成黑色
wl和wr无黑色节点，rl和rr各有1个黑色。旋转完后，右边增加一个黑色节点
② r是黑色节点，r是黑色节点，这时就要看g的颜色，如果g是红色，只要交换g和子女v的颜色。如果g是黑色，可以做一次右单旋转，将节点v上升染成双重黑色，消除节点u的双重黑色，双重黑色向根的方向移动
在这里插入图片描述
情况2，v是红色节点，考察有子女r，r一定是黑色节点，在看r的左子女s，根绝s的颜色分两种情况：
（1）s是红色，先左后右双旋，s染黑色，r上升，使包含u的路径的黑高度加1