压缩映射定理证明

 收缩映射定理(又称Banach不动点定理)是一个重要的结果,特别是在分析和应用数学中。

定理(收缩映射定理):假设f{}是一个从度量空间 (X,d) 到自身的函数,如果f{} 是一个收缩映射,即存在常数 0\leqslant k< 1,使得对于所有 x,y{}\epsilon X,有d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y),那么 f{}有唯一的不动点 x^*,即f(x^*) = x^*。此外,对于任何初始点 x_0 \in X,迭代序列 x_{n+1} = f(x_n) 都收敛于 x^*,且收敛速度是指数级的。

证明

  1. 存在性:我们需要证明存在一个不动点 x^* 使得 f(x^*) = x^*

    取任意初始点 x_0 \in X,构造序列 \{x_n\},其中 x_{n+1} = f(x_n)

    我们需要证明这个序列收敛。首先,我们估算x_{n+1} 和 x_n​ 之间的距离:

    d(x_{n+1}, x_n) = d(f(x_n), f(x_{n-1})) \leq k \cdot d(x_n, x_{n-1})

    反复使用这个不等式,我们得到:

    d(x_{n+1}, x_n) \leq k \cdot d(x_n, x_{n-1}) \leq k^2 \cdot d(x_{n-1}, x_{n-2}) \leq \cdots \leq k^n \cdot d(x_1, x_0)

    由于 0 \leq k < 1,我们知道 k^n \to 0 随着 n \to \infty。因此,

    d(x_{n+1}, x_n) \to 0   随着     n \to \infty

    现在,我们证明\{x_n\}是一个Cauchy序列。对于任何m > n,有:

    d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)

    使用前面的估计:

    d(x_m, x_n) \leq k^{m-1}d(x_1, x_0) + k^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + k^n d(x_1, x_0)

    因此,

    d(x_m, x_n) \leq d(x_1, x_0) \sum_{i=n}^{m-1} k^i \leq d(x_1, x_0) \frac{k^n}{1 - k}.

    由于\frac{k^n}{1 - k} \to 0 随着n \to \infty,我们可以得出 d(x_m, x_n) \to 0 随着 n, m \to \infty,即 \{x_n\}是一个Cauchy序列。由于X是一个度量空间(假设是完备的),所以 \{x_n\} 收敛于某个点 x^* \in X

  2. 不动点:我们需要证明这个极限点 x^*f的不动点。由于f 是连续的,我们有:

    f(x^*) = f\left(\lim_{n \to \infty} x_n\right) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^*

  3. 唯一性:假设存在两个不动点 x^* 和 y^*,使得 f(x^*) = x^*f(y^*) = y^*。我们有:

    d(x^*, y^*) = d(f(x^*), f(y^*)) \leq k \cdot d(x^*, y^*)

    由于 0 \leq k < 1,唯一可能的是 d(x^*, y^*) = 0,即 x^* = y^*

  4. 算法和收敛性:对于任意初始点 x_0 \in X,迭代序列 x_{n+1} = f(x_n) 收敛于 x^*。而且,从上述证明中,我们可以看到收敛速度是指数级的,因为

    d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1 - k} d(x_1, x_0)

综上所述,收缩映射定理证明完成。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/pingmian/28719.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

华为---VLAN-配置Eth-Trunk链路聚合(三)

6.3 配置Eth-Trunk链路聚合 6.3.1 原理概述 在没有使用Eth-Trunk前&#xff0c;百兆以太网的双绞线在两个互连的网络设备间的带宽仅为100Mbit/s。若想达到更高的数据传输速率&#xff0c;则需要更换传输媒介&#xff0c;使用千兆光纤或升级成为千兆以太网。这样的解决方案成本…

GenICam标准(五)

系列文章目录 GenICam标准&#xff08;一&#xff09; GenICam标准&#xff08;二&#xff09; GenICam标准&#xff08;三&#xff09; GenICam标准&#xff08;四&#xff09; GenICam标准&#xff08;五&#xff09; GenICam标准&#xff08;六&#xff09; 文章目录 系列文…

【Stable Diffusion教程】AI绘画工具SD如何安装使用?三种方法带你轻松上手!(附安装包和云端部署教程)

大家好&#xff0c;我是向阳 AI绘画专业工具Stable Diffusion在哪里用怎么安装&#xff1f;这一期给大家介绍三种使用SD的方法&#xff0c;无论你有没有专业显卡都能轻松上手SD哦&#xff5e; 一、SD本地部署秋葉安装包安装方法 如果你有进一步的需求&#xff0c;想要学习SD…

丘钛微注册陷入“停滞”IPO中止:营收净利润连年下滑,毛利率骤降

《港湾商业观察》施子夫 王璐 从2021年6月末算起&#xff0c;在冲刺创业板这条道路上&#xff0c;昆山丘钛微电子科技股份有限公司&#xff08;以下简称&#xff0c;丘钛微&#xff09;已经耗时了三年。 实际上在三年中&#xff0c;丘钛微早在2022年8月17日就首发过会&#…

52.Python-web框架-Django - 多语言编译-fuzzy错误

目录 1.起因 2.原因 3.解决方法 3.1手动移除fuzzy标记 3.2重新生成po文件&#xff0c;并检查是否还存在fuzzy标记 3.3重新编译生成mo文件 1.起因 在Django的国际化和本地化过程中&#xff0c;当你发现某些字段仅显示msgid&#xff0c;而不显示msgstr时&#xff0c;可能是…

燃气守护神:燃气管网安全运行监测解决方案

在这个智能科技日新月异的时代&#xff0c;燃气安全却时有发生&#xff0c;严重危害人们的生命财产安全&#xff0c;因此旭华智能根据相关政策要求并结合自身优势&#xff0c;打造了一套燃气管网安全运行监测解决方案&#xff0c;他犹如一位“燃气守护神”&#xff0c;悄然守护…

计算机组成原理之存储器

文章目录 存储器概述存储器的分类情况按照存储器在系统中的作用分类按存储介质分类按存取方式分类 主存储器的技术指标 存储器概述 程序的局部性原理&#xff08;构成多级存储系统的依据&#xff09;&#xff1a;在某一个时间段你频繁访问某一局部的存储器地址空间&#xff0c;…

綦江蜘蛛池四川官网下载

baidu搜索&#xff1a;如何联系八爪鱼SEO? baidu搜索&#xff1a;如何联系八爪鱼SEO? baidu搜索&#xff1a;如何联系八爪鱼SEO? CCSEO蜘蛛统计开发思路一般包括以下几个步骤: 定义需求:明确统计蜘蛛访问数据的目标和要求,例如需要获取哪些信息,统计的精度和频率等。 确定数…

重生之 SpringBoot3 入门保姆级学习(18、事件驱动开发解耦合)

重生之 SpringBoot3 入门保姆级学习&#xff08;18、事件驱动开发解耦合&#xff09; 5、SpringBoot3 核心5.1 原始开发5.2 事件驱动开发 5、SpringBoot3 核心 5.1 原始开发 LoginController package com.zhong.bootcenter.controller;import com.zhong.bootcenter.service.A…

爬虫初学篇——看完这些还怕自己入门不了?

初次学习爬虫&#xff0c;知识笔记小分享 学scrapy框架可看&#xff1a;孤寒者博主的【Python爬虫必备—&#xff1e;Scrapy框架快速入门篇——上】 目录&#x1f31f; 一、&#x1f349;基础知识二、&#x1f349;http协议&#xff1a;三、&#x1f349;解析网页(1) xpath的用…

基于单片机的无线遥控自动翻书机械臂设计

摘 要&#xff1a; 本设备的重点控制部件为单片机&#xff0c;充分实现了其自动化的目的。相关研究表明&#xff0c;它操作简单便捷&#xff0c;使残疾人在翻书时提供了较大的便利&#xff0c;使用价值性极高&#xff0c;具有很大的发展空间。 关键词&#xff1a; 机械臂&…

25天录用!快到飞起的宝藏SSCI,免版面费,1天见刊!毕业评职即刻拿下

本周投稿推荐 SSCI • 中科院2区&#xff0c;6.0-7.0&#xff08;录用友好&#xff09; EI • 各领域沾边均可&#xff08;2天录用&#xff09; CNKI • 7天录用-检索&#xff08;急录友好&#xff09; SCI&EI • 4区生物医学类&#xff0c;0.5-1.0&#xff08;录用…

【odoo17】富文本小部件widget=“html“的使用

概要 HTML富文本字段通常用于在模型中存储和显示格式化的文本。通过这种字段&#xff0c;用户可以利用HTML标签来格式化文本&#xff0c;从而在前端呈现更丰富的内容。 在Odoo中&#xff0c;HTML字段在没有明确指定widget"html"的情况下&#xff0c;也会默认显示为富…

Windows NT 3.5程序员讲述微软标志性“3D管道”屏幕保护程序的起源故事

人们使用屏保程序来防止 CRT 显示器"烧毁"&#xff0c;因为静态图像会永久损坏屏幕。像 3D Pipes 这样的屏保程序能在显示器处于非活动状态时为其提供动画效果&#xff0c;从而保护屏幕并延长其使用寿命。此外&#xff0c;它们还能在用户不使用电脑时为其提供可定制的…

软件安全漏洞分析与发现 复习笔记

1 绪论 本节无考点&#xff0c;仅供了解。 2 基础知识 考点&#xff1a; 汇编码理解和撰写&#xff0c;三种内存地址&#xff0c;不同的页管理方式。windows保护模式可能出题 汇编算法的阅读理解给出汇编片段&#xff0c;理解其意思&#xff0c;输入->输出保护模式…

Aigtek功率放大器参数怎么选型的

功率放大器是电子系统中重要的组成部分&#xff0c;选型合适的功率放大器对系统的性能和可靠性至关重要。本文下面安泰电子将介绍如何选型功率放大器的关键步骤和考虑因素。 首先&#xff0c;确定应用需求。在选型功率放大器之前&#xff0c;确定应用需求是至关重要的第一步。了…

基于机器学习和深度学习的轴承故障诊断方法(Python)

在工业早期&#xff0c;设备故障诊断通常由专家通过观察设备运行中的变量参数并结合自身知识进行诊断。但相比传统的机理分析方法&#xff0c;数据驱动的智能设备故障诊断更能充分提取数据中隐含的故障征兆、因果逻辑等关系。智能设备故障诊断的优势表现在其对海量、多源、高维…

AI日报|跃问App上架加入AI助理竞争!GPTZero获千万美元A轮融资,创始人不到30岁!

文章推荐 AI日报&#xff5c;Luma推出AI视频模型&#xff0c;又一Sora级选手登场&#xff1f;SD3 Medium发布&#xff0c;图中文效果改善明显 AI日报&#xff5c;仅三个月就下架&#xff1f;微软GPT Builder出局AI竞争赛&#xff1b;马斯克将撤回对奥特曼的诉讼 ⭐️搜索“可…

WordPress如何删除内存中的缓存?

今天boke112百科将某篇文章修改分类和内容更新后&#xff0c;发现文章底部的相关文章显示的内容跟文章分类、标签毫无关系&#xff0c;还是显示原来的旧内容。后来查看YIA主题相关文章的代码&#xff0c;才发现相关文章的数据保存到内存中的&#xff0c;而且是永不过期&#xf…