【动态规划】0-1背包问题

【动态规划】0-1背包问题

题目:现在有四个物品,背包总容量为8,背包最多能装入价值为多少的物品?

我的图解

表格a【i】【j】表示的是容量为j的背包装入前i个物品的最大价值。

拿a【1】【1】来说,它的值就是背包容量为1,只考虑编号0,1的物品时,背包所能装入的最大价值;

然后既然是动态规划,那就一定有初值,也就是a【0】【j】 = 0; a【i】【0】 = 0;即第一行和第一列都为0;


然后根据初值来推后面的值;

首先要判断本行所对应的物品是否能装入背包,

拿a【1】【1】来说,首先要判断,若只考虑编号为1的物品,它是否可以装入背包,此时的背包容量为1,而编号为1的物品的体积为2,故它无法装入背包,那么a【1】【1】的值和背包容量为1,只考虑编号为0的物品时,背包所能装入的最大价值(即a【0】【1】)是相等的;

若能装入背包;那么有两种选择:

(1)装入本行物品,即先装入本行的物品,然后剩下背包容量装其他价值之和最大的物品

(2)不装本行物品,即背包容量都用来装除了本行物品之外的其他物品(即本行前面几行的物品)
然后比较(1)(2)选择较大者;


拿a【2】【4】来说,此时的背包容量为4,编号为2的物品的体积为3,故2号物品能装入背包,然后两种选择:
(1)装入2号物品,此时背包剩余容量为1,此时只剩下两个物品,那就是编号为0和1的物品,查表得a【1】【1】=0

故此时的最大价值为a【1】【1】加上2号物品的价值,也就是4

(2)不装2号物品,即背包容量都用来装除了本行物品之外的其他物品(即本行前面几行的物品)
由于不装入2号物品,此时的最大价值和只考虑编号为0,1物品,背包容量为4的情况的最大价值(即a【1】【4】)是相等的,
也就是3;

故选择(1)(2)中较大者,a【2】【4】=4;

依次类推下去。

解法归纳:

一、如果装不下当前物品,那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组是一
样的。

二、如果装得下当前物品。

假设1:装当前物品,在给当前物品预留了相应空间的情况下,前n-1 个物品的最佳组
合加上当前物品的价值就是总价值。

假设2:不装当前物品,那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样
的。

选取假设1和假设2中较大的价值,为当前最佳组合的价值。


代码实现

package eunm.Try;//0-1背包问题
public class BB {public static void main(String[] args) {// TODO 自动生成的方法存根int volume[] = {2, 3, 4, 5};int value[] = {3, 4, 5, 6};int maxvolume = 9;System.out.println(knapsack(volume, value, maxvolume));}public static int knapsack(int[] volume, int[] value, int maxvolume) {int n = volume.length;//最大价值数组为maxvalue[N+1][maxvolume+1],因为我们要从0开始保存int[][] maxvalue = new int[n + 1][maxvolume + 1];//体积和物品为0时,价值为0for (int j = 0; j < maxvolume + 1; j++) {maxvalue[0][j] = 0;}for (int i = 0; i < n + 1; i++) {maxvalue[i][0] = 0;}//i:只拿前i件物品(这里的i因为取了0,所以对应到weight和value里面都是i-1号位置)//j:假设能取的总体积为j//n是物品件数for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= maxvolume; j++) {//当前最大价值等于放上一件的最大价值maxvalue[i][j] = maxvalue[i - 1][j];//如果当前件的体积小于总体积,可以放进去或者拿出别的东西再放进去if (volume[i - 1] <= j) {/*比较(不放这个物品的价值)和(这个物品的价值value[i - 1] 加上 当前能放的总体积减去当前物品体积j - volume[i - 1]时取前i-1个物品时的对应体积时候的最高价值)maxvalue[i - 1][j - volume[i - 1]]的大小*/if (value[i - 1] + maxvalue[i - 1][j - volume[i - 1]] > maxvalue[i - 1][j]) {maxvalue[i][j] = value[i - 1] + maxvalue[i - 1][j - volume[i - 1]];}}}}return maxvalue[n][maxvolume];}}

这里比较关键。

//如果当前件的体积小于总体积,可以放进去或者拿出别的东西再放进去if (volume[i - 1] <= j) {/*比较(不放这个物品的价值)和(这个物品的价值value[i - 1] 加上 当前能放的总体积减去当前物品体积j - volume[i - 1]时取前i-1个物品时的对应体积时候的最高价值)maxvalue[i - 1][j - volume[i - 1]]的大小*/if (value[i - 1] + maxvalue[i - 1][j - volume[i - 1]] > maxvalue[i - 1][j]) {maxvalue[i][j] = value[i - 1] + maxvalue[i - 1][j - volume[i - 1]];}}

背包问题回溯:在使得背包内总价值最大的情况下,背包内装了哪些物品?

这里我暂时不想研究了呜呜脑阔疼。


再来一个今天做的题目:小明是一个大胖子,为了让体重达到正常水平,他的计划是:减掉n千克体重,分多周完成(至少是2周),每周都减重正整数千克。为了激励自己,他决定每周减掉的体重都必须比上周减掉的体重多。假设他上周减重0千克,他从这周开始执行计划,请问可以设计出多少种方案?

套一下上面的模板就行。

package Excepect;import java.util.Scanner;public class AAAA {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);int n = scan.nextInt();long[][] dp = new long[n][n + 1];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i < n; i++) {//i表示接收体重后体重变化dp[i][0] = 1;//第一周开始减最少从1开始for (int j = 1; j <= n; j++) {//j表示能减的总体重//当前方案=上一体重的方案dp[i][j] = dp[i - 1][j];//如果当前体重<=能减的总体重if (i <= j) {//最多总方案=现有方案+(能减的总体重-当前体重时取前i-1对应体重的最多总方案)dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j - i];}}}System.out.println(dp[n - 1][n]);scan.close();}
}

突然发现学算法真的很费脑子。。。。。。最近两天家里面在干活,我不仅时刻被叫去帮忙干活还要去帮忙做午饭,没办法农村家庭里的孩子就是这么命苦呜呜呜,所以就没办法专注下来学习,断断续续的。

不过总结确实是一件好事,不总结的话我可能都学不懂什么。前天晚上弄的那个个人博客吧,就如同我朋友说的一样,我像极了瞎猫碰见死耗子,到处乱碰,看看碰到了没。。。

然后一直搞到深夜十二点半才在我的博客主页看到了我写的文章。目前还没成功,还没把博客部署到服务器上,好像就是差这一步来着。等我搞好了我会写一篇技术文的嘿嘿嘿。

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