数学分析复习:三角函数的周期性

文章目录

  • 三角函数的周期性

本篇文章适合个人复习翻阅,不建议新手入门使用

三角函数的周期性

本节的主题是研究三角函数的周期性,我们之前已经解析地定义三角函数为
cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! , sin ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! \cos{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\sin{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} cosx=k=0(2k)!(1)kx2k,sinx=k=0(2k+1)!(1)kx2k+1

设函数
F : R → R 2 , x ↦ F ( x ) = ( sin ⁡ x cos ⁡ x ) F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,x\mapsto F(x)=\begin{pmatrix} \sin{x}\\\cos{x}\\ \end{pmatrix} F:RR2,xF(x)=(sinxcosx)

S ( x ) = sin ⁡ x , C ( x ) = cos ⁡ x S(x)=\sin{x},C(x)=\cos{x} S(x)=sinx,C(x)=cosx

记矩阵 J = ( 0 1 − 1 0 ) J=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} J=(0110),则容易发现 F F F 满足如下的微分方程
{ F ′ = J F f ∣ x = 0 = ( 0 1 ) \begin{cases} F'=JF\\ f|_{x=0}=\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} \end{cases} F=JFfx=0=(01)

命题:微分方程解的存在唯一性
f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] fC0[a,b] f f f ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微,若 f ′ ( x ) ≡ 0 f'(x)\equiv 0 f(x)0 f ( a ) = c f(a)=c f(a)=c,则 f ( x ) ≡ c f(x)\equiv c f(x)c,或等价地说,如下的常微分方程
{ f ′ ( x ) = 0 f ∣ x = a = c \begin{cases} f'(x)=0\\ f|_{x=a}=c\\ \end{cases} {f(x)=0fx=a=c 存在唯一的解

证明(Lagrange中值定理)
反证法,若存在某个 x 1 ∈ ( a , b ) x_1\in (a,b) x1(a,b) 使得 f ( x 1 ) ≠ c f(x_1)\neq c f(x1)=c,则在 [ a , x 1 ] [a,x_1] [a,x1] 上使用 Lagrange中值定理,存在 x 0 ∈ ( a , x 1 ) x_0\in(a,x_1) x0(a,x1),使得
f ′ ( x 0 ) = f ( x 1 ) − c x 1 − a ≠ 0 f'(x_0)=\frac{f(x_1)-c}{x_1-a}\neq 0 f(x0)=x1af(x1)c=0矛盾

命题
S ( x ) S(x) S(x) C ( x ) C(x) C(x) 是周期函数

证明
首先由 C ′ ( x ) = − S ( x ) C'(x)=-S(x) C(x)=S(x) 可证 0 0 0 C ( x ) C(x) C(x) 的一个极大值点;

第二,说明存在一个 A > 0 A>0 A>0,使得在 [ 0 , A ] [0,A] [0,A] 上, C ( x ) C(x) C(x) 单调递减且 C ( A ) = 0 C(A)=0 C(A)=0

要说明 A A A 的存在性,只需说明 A ≠ + ∞ A\neq +\infty A=+,用反证法,由 C ( x ) > 0 C(x)>0 C(x)>0 S ( x ) S(x) S(x) 严格单调递增,又对 x ≥ δ x\geq \delta xδ
S ( x ) ≥ S ( δ ) ⇔ ( C ( x ) + s x ) ′ < 0 S(x)\geq S(\delta)\Leftrightarrow (C(x)+sx)'<0 S(x)S(δ)(C(x)+sx)<0 从而
C ( δ ) + s δ ≥ C ( x ) + s x > s x C(\delta)+s\delta\geq C(x)+sx>sx C(δ)+C(x)+sx>sx这显然不可能

第三,重复以上说明,可证存在 B > 0 B>0 B>0,使得在 [ A , A + B ] [A,A+B] [A,A+B] 上, S ( x ) S(x) S(x) 单调递减且 S ( A + B ) = 0 S(A+B)=0 S(A+B)=0

第四,定义 π = A + B \pi =A+B π=A+B,发现 ( − S ( x + π ) − C ( x + π ) ) \begin{pmatrix} -S(x+\pi)\\-C(x+\pi)\\ \end{pmatrix} (S(x+π)C(x+π)) ( S ( x ) C ( x ) ) \begin{pmatrix} S(x)\\C(x)\\ \end{pmatrix} (S(x)C(x)) 均为常微分方程的解
{ F ′ = J F f ∣ x = 0 = ( 0 1 ) \begin{cases} F'=JF\\ f|_{x=0}=\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} \end{cases} F=JFfx=0=(01)

由解的唯一性,得到 S ( x ) = − S ( x + π ) S(x)=-S(x+\pi) S(x)=S(x+π),从而 S ( x ) = S ( x + 2 π ) S(x)=S(x+2\pi) S(x)=S(x+2π) 2 π 2\pi 2π 即为 S ( x ) S(x) S(x) 的周期

又因为 S ( x ) S(x) S(x) ( 0 , π ) (0,\pi) (0,π) 上为正,在 ( π , 2 π ) (\pi,2\pi) (π,2π) 上为负,则 2 π 2\pi 2π S ( x ) S(x) S(x) 的最小周期

类似地, 2 π 2\pi 2π 也是 C ( x ) C(x) C(x) 的最小周期

注:该证明也给出了 π \pi π 的另一种定义

参考书:

  • 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
  • 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
  • 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/pingmian/2505.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Java并发编程之锁的艺术:面试与实战指南(二)

1. Java中线程和进程的区别是什么&#xff1f; 进程是系统分配资源的基本单位&#xff0c;它包含了一个或多个线程以及相关的系统资源&#xff08;如内存、文件句柄等&#xff09;。进程间相互独立&#xff0c;通过进程间通信&#xff08;IPC&#xff09;进行信息交换。线程是…

分布式版本控制工具 Git 的使用方式

文章目录 Git简介下载安装基本使用起始配置Git 的三个区域基本操作流程查看仓库状态删除&#xff08;撤销暂存区&#xff09;差异对比查看版本日志版本回退修改提交日志分支概念&#xff1a;创建分支与切换分支合并分支&#xff08;快速合并&#xff09;合并分支&#xff08;提…

jQuery中的api操作

1、认识jQuery jQuery函数 , jQuery的别 "$" , $也是一个函数. // $(function(){})// $ 是什么? $ 是一个函数// console.log(typeof $);// function// $ 是jQuery的别名?// window.jQuery window.$ jQuery;// console.log(jQuery $);// true 2、文档遍历和操…

北京筑龙当选中招协第二届招标采购数字化专业委员会执行主任单位

4月18-19日&#xff0c;中国招标投标协会&#xff08;以下简称中招协&#xff09;2024年年会在宁波召开&#xff0c;北京筑龙作为中招协理事会员单位受邀出席会议。会议期间举行了“电子招标采购专业委员会换届会议暨第二届第一次工作会议”&#xff0c;北京筑龙当选第二届招标…

用代码给孩子造“钱”

起因 作为家里有两个娃的奶爸&#xff0c;时长为了孩子乱花钱而焦虑不已。然后最近看到一段短视频说了这么段话。 父母不要被动给孩子买东西&#xff0c;而是定期给孩子钱。让孩子自己管钱培养她对于钱的认知和理财的观念。 突然感觉大师我悟了。感觉值得一试。于是就打算给他…

如何在官网查看Qt5的所有模块?

2024年4月23日&#xff0c;周二上午 如果你不想一步步来的话&#xff0c;可以直接去这个Qt官方链接 https://doc.qt.io/qt-5/qtmodules.html 第一步&#xff1a;去到Qt官网 https://www.qt.io/ 第二步&#xff1a;点击文档链接 第三步&#xff1a;选择文档中的“Qt5” 第四步…

Python项目开发实战:如何自动化读取Excel数据文件并用可视化分析

注意:本文的下载教程,与以下文章的思路有相同点,也有不同点,最终目标只是让读者从多维度去熟练掌握本知识点。 下载教程:Python项目开发实战_自动化读取Excel数据文件并用可视化分析_编程案例实例课程教程.pdf 1、可视化分析的特点 在Python项目开发实战中,可视化分析扮…

Python中的tkinter工具包帮助文档查询以及Python其他GUI工具包分类

Python中的tkinter工具包帮助文档查询以及Python其他GUI工具包分类 虽然Python支持许多GUI工具包&#xff0c;然而Tkinter是Python的实际标准GUI&#xff08;图形用户界面&#xff09;包&#xff0c;也是最常用的一种。本文简要介绍tkinter工具包帮助文档查询以及Python其他GU…

SpanBert学习

SpanBERT: Improving Pre-training by Representing and Predicting Spans 核心点 提出了更好的 Span Mask 方案&#xff0c;也再次展示了随机遮盖连续一段字要比随机遮盖掉分散字好&#xff1b;通过加入 Span Boundary Objective (SBO) 训练目标&#xff0c;增强了 BERT 的性…

flask_apscheduler 定时任务框架

简介 Flask_apscheduler是一个在Flask框架中使用的APScheduler库的扩展。APScheduler是一个用于调度任务的Python库&#xff0c;可以在指定的时间间隔调度函数、方法或任意可调用对象的执行。 Flask_apscheduler对APScheduler进行了集成&#xff0c;使得在Flask应用中可以简便…

FFmpeg 源码分析:av_seek_frame()

[TOC](FFmpeg 源码分析&#xff1a;av_seek_frame()) FFmpeg 源码分析&#xff1a;av_seek_frame() 函数原型 av_seek_frame() 是 FFmpeg 中的一个函数&#xff0c;位于 libavformat/avformat.h&#xff0c;用于定位媒体文件中的某一帧。 下面是 av_seek_frame() 的函数定义…

Python小功能实现(链接下载图品并存储到EXCEL中)

import os import requests from openpyxl import Workbook from openpyxl.drawing.image import Image from concurrent.futures import ThreadPoolExecutor# 图片链接列表 image_urls ["https://uploads/file/20230205/f85Lpcv8PXrLAdmNUDE1Hh6xqkp0NHi2gSXeqyOb.png&q…

ctfshow——XSS

文章目录 XSS介绍什么是xss&#xff1f;XSS危害XSS的分类常用XSSpayload web316——反射型XSSweb317——过滤<script> web318——过滤script、imgweb319——不止过滤script、imgweb320——过滤空格web321——不止过滤空格web322——不止过滤空格web323web324web 325web32…

【笔记】短信服务设计记录

模块拆分&#xff1a; - 服务配置 - 模板 - 计费 - 日志 - 验证码管理 - 发送任务的管理 思考点 怎么与用户&#xff08;手机&#xff09;绑定&#xff0c;如何防止频繁调用。 策略模式来适配多种不同短信发送通道的场景。 短信任务管理&#xff0c;轮询和异步对生产者消…

报名 | Qt汽车及工业行业解决方案及实战训练 深圳站(5月15日 星期三)

加入我们的Qt技术培训&#xff0c;探索跨平台应用开发的无限可能&#xff01;本次培训将深入Qt框架&#xff0c;涵盖从基础概念到高级功能的全方位知识&#xff0c;无论您是刚入门的新手还是希望提升技能的资深开发者&#xff0c;都能在此找到适合自己的学习路径。通过实践案例…

OpenTelemetry-2.Go接入Jaeger(grpc,gin-http)

目录 1.什么是OpenTelemetry 2.搭建jaeger 3.链路追踪 本地调用 远程调用 GRPC proto server端 client端 Gin-HTTP 调用流程 api1 api2 grpc 4.完整代码 1.什么是OpenTelemetry 参考&#xff1a;OpenTelemetry-1.介绍-CSDN博客 2.搭建jaeger 参考&#xff1a;…

Node.js 环境变量动态获取和静态获取的区别

Node.js 环境变量动态获取和静态获取的区别 Node.js 环境 vs 浏览器环境 process.env.SERVICE_PORTAL: 适用环境&#xff1a;Node.js 环境。用途&#xff1a;访问操作系统的环境变量。 import.meta.env.SERVICE_PORTAL: 适用环境&#xff1a;浏览器环境&#xff0c;特别是在使…

齐护K210系列教程(八)_LCD显示图片

LCD显示图片 文章目录 LCD显示图片1&#xff0c;显示单张图片2&#xff0c;通过按键切换显示SD卡内的图片3&#xff0c;通过传感器切换图片4&#xff0c;画中画显示&#xff0c;并缩放5&#xff0c;课程资源 联系我们 AIstart 显示的图片的默认分辨率为&#xff1a;320*240 &am…

使用ROC指标100次盈利交易后,众汇才明白的道理

使用ROC指标100次盈利交易后才明白的道理&#xff0c;众汇外汇认为盈利的基本就是考虑这些指标。 ①.资产波动性 需要考虑到资产波动性&#xff0c;根据资产的波动性更改设置&#xff0c;设置的结果会告诉投资者这段时间的平均波动率。 ②添加过滤器。交易系统的主要指标是趋…

MySQL无法打开情况下读取frm文件的表结构

一、背景&#xff1a; 开发人员通过MySQL客户端工具&#xff0c;可以访问MySQL5.7.6&#xff0c;可以访问具体的DB&#xff0c;可以查看小写表的数据&#xff0c;但是无法查看大写表的数据&#xff0c;报错信息为“table does not exist”。 二、检查与分析&#xff1a; ssh登录…