中国剩余定理($CRT$)及其扩展($EXCRT$)详解

基本形式

• 中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组的解：
  $$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$
  在中国剩余定理中：$a_1,a_2,\dots ,a_n$ 是给定的余数， $m_1,m_2,\dots ,m_n$两两互质，如果两两不互质则是扩展中国剩余定理。

前馈知识

• 裴蜀定理

  • $ax+by=gcd(a,b)$
  • 关于未知数的$x$和$y$的线性二元不等式一定存在整数$x$,$y$使其成立
  • 裴蜀定理的求解采用扩展欧里定理$exgcd(a,b,x,y)$

• 扩展欧几里算法

  • 核心是$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$ 思路如下：

  • 第一层：$ax+by=gcd(a,b)$ ，递归到下一层，$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$，同时向下传$x$和$y$，设为$x^{\prime }$和$y^{\prime }$

  • 第二层：$b{x}^{\prime }+a\%b\ast y^{\prime }=gcd(b,a\%b)$，我们可以把$a\%b$表示为$a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$ ，代入整理可得：
    $$a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\frac{a}{b}{y}^{\prime })=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)=ax+by$$
    比较可以得到第一层的$x$和$y$和第二层的$x^{\prime }$和$y^{\prime }$的关系为：
    $$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\frac{a}{b}{y}^{\prime }$$

  • 第二层的$x^{\prime }$和$y^{\prime }$由可以由第三层的$x^{\prime \prime }$和$y^{\prime \prime }$代入同样的求得，在递归终点时，我们只需要让$x=1,y=0$即可。

    def exgcd(a,b,x,y):if b==0:return a,1,0d,x,y=exgcd(b,a%b,x,y)x,y=y,x-a//b*yreturn d,x,y
    

• 逆元求解方法

  • 费马小定理

    • 费马小定理也就是用快速幂求解$qmi(a,p-2,p)$，其中$p$为质数

      def qmi(a,b,p):res=1%pwhile b:if b&1:res=res*a%pa=a*a%pb>>=1return res
      

  • 扩展欧几里得

    • 当$p$不为质数时不能用费马小定理
    • 扩展欧几里得求逆元也就是$exgcd(a,p,x,y)$，得到最小的$x$后$x\%p$就是逆元

同余方程求解过程

• 同余方程$ax\equiv c(\mathrm{mod}b)$ 可以化成一个二元一次不等式：$ax+by=c$ ，由整数解的充要条件是：$gcd(a,b)|c$ ，假设$gcd(a,b)=d$ 可以用扩展欧几里得算法解出裴蜀等式$ax+by=d$的解，再乘上$c/d$即可得到同余方程的一个特解(设为$x_0$和$y_0$)。可以得到通解如下：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+b_{1}t\\ y=y_0-a_{1}t\end{array}$$

​ 其中，$a_1=\frac{a}{gcd(a,b)},b_1=\frac{b}{gcd(a,b)}$ 。证明：将$x,y$ 代入$ax+by=gcd(a,b)$ 可以发现还等于这个式子。

$CRT$问题的解决方法

• CRT主要利用$m_1,m_2,\dots ,m_n$ 为两两互质的整数的性质。我们可以令：
  $$\begin{gathered} M=m_1\times m_2\times \cdots \times m_n=\begin{array}{c}\prod _{i=1}^n{m}_i\end{array} \\ {M}_i=M/m_i \end{gathered}$$
  明显这里的$M_i$是和$m_i$互质的。

• 接着我们定义逆元：
  $$t_i=M_i^{-1}$$

• 所以我们可以构造出一个解$x_0$
  $$x_0=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$$

• 解释 $\forall j\in [1,n]$：
  $$\{\begin{array}{l}{a}_j{M}_j{t}_j\%m_i=0j\ne i\\ a_j{M}_j{t}_j\%m_i=a_{i}j=i\end{array}$$

• 通解就是$x=x_0+kM$，而CRT问题所求的最小整数解其实就是$ans=x\%M$

$EXCRT$问题的解决方法

• 当$m_1,m_2,\dots ,m_n$没有两两互质时就不能使用CRT了。

• 观察下面的同余方程式子
  $$
  \begin{cases}
  x \equiv 2 \pmod{4} \
  x \equiv 4 \pmod{6}
  \end{cases}

  \Rightarrow x
  \equiv 10\pmod{12}
  $$

  $$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ x\equiv 3(\mathrm{mod}6)\end{array}\Rightarrow \varnothing$$

  可以发现合同余方程在一定条件下是可以合并的，并且模数是原来模数的最小公倍数，当然也会出现无解的情况。

• 合并流程

  • 假设前$k-1$个同余方程合并得到新的方程为：$x=r_1(\mathrm{mod}M)$ ，$M$是前$k-1$个同余方程模数的最小公倍数，现在需要考虑合并第$k$个方程：$x=r_2(\mathrm{mod}{m}_k)$。

  • 对于前$k-1$个同余方程，其通解为$x=r_1+i\ast M,i\in Z$，接着在通解里面找到一个$t$，使得$(r_1+t\ast M)\%m_k=r_2$，即可满足第$k$个方程。那么合并后前$k$个同余方程的通解就是
    $$x=r_1+t\ast M+i\ast lcm(M,m_k),i\in Z$$
    再对通解模$lcm(M,m_k)$ 即可得到新的$ans$作为前$k$个同余方程的最小整数解。

  • 其中找$t$的过程：$M\ast t+m_k\ast y=r_2-r_1$，其中$M$就是裴蜀等式的$a,t$就是裴蜀等式的$x$，其中$r_2-r_1$要满足$gcd(M,m_k)|(r_2-r_1)$，否则无解。

  • 我们先用扩展欧几里得求解出$M\ast t+m_k\ast y=gcd(M,m_k)$，顺便求出$gcd(M,m_k)$，再将得到的解$t=t\ast \frac{r_2-r_1}{gcd(M,m_k)}$，即可求得$t$。