动态规划实现斐波那契数列

代码回顾：

#include <iostream>
using namespace std;// 动态规划实现，时间复杂度 O(n)
unsigned long long fibonacciDP(int n) {if (n <= 1) return n;unsigned long long prev2 = 0;unsigned long long prev1 = 1;unsigned long long curr;for (int i = 2; i <= n; ++i) {curr = prev1 + prev2;prev2 = prev1;prev1 = curr;}return curr;
}int main() {int n;cout << "Enter a number: ";cin >> n;cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << fibonacciDP(n) << endl;return 0;
}

详细介绍

1. 函数定义：

   unsigned long long fibonacciDP(int n) {
   

   定义了一个名为 fibonacciDP 的函数，它接收一个整数 n，返回类型为 unsigned long long，用于表示第 n 个斐波那契数。

2. 处理基本情况：

   if (n <= 1) return n;
   

   如果 n 小于或等于1，直接返回 n，因为斐波那契数列的第0个和第1个数分别为0和1。

3. 初始化变量：

   unsigned long long prev2 = 0;
   unsigned long long prev1 = 1;
   unsigned long long curr;
   

   初始化 prev2 和 prev1 分别为0和1，这两个变量用于存储前两个斐波那契数。curr 用于存储当前计算的斐波那契数。

4. 计算斐波那契数：

   for (int i = 2; i <= n; ++i) {curr = prev1 + prev2;prev2 = prev1;prev1 = curr;
   }
   

   使用一个循环从2开始迭代到 n，每次循环中计算当前的斐波那契数 curr，并更新 prev2 和 prev1。

5. 返回结果：

   return curr;
   

   返回第 n 个斐波那契数。

时间复杂度分析

• 每次计算 curr 都是由前两个已知值 prev1 和 prev2 相加得到的，且这些值在每次迭代时都会更新。
• 该算法的核心循环从 2 运行到 n，共进行 n-1 次操作。
• 因此，时间复杂度是 (O(n))。

空间复杂度分析

• 在这个实现中，我们只使用了常数个变量 prev2、prev1 和 curr 来存储当前和之前的斐波那契数。
• 无论 n 多大，所需的额外空间（不包括输入和输出）都是固定的。
• 因此，空间复杂度是 (O(1))。

总结

• 时间复杂度： (O(n))，因为我们需要从2迭代到 n 来计算斐波那契数。
• 空间复杂度： (O(1))，因为我们只使用了固定数量的变量来存储中间结果。

这种动态规划的方法通过减少不必要的重复计算，大大提高了计算效率，且只需常数空间，因此在计算斐波那契数列时非常高效。