浅说深度优先搜索（中）—

写在最前

相信在你们不懈的努力之下，基本的递归一定可以写出来了，那么我们现在就来看看递归的升级版——回溯怎么写吧！

简说回溯

递归是一种特别重要的解题策略。大部分题目需要找到最优解，而这个求解过程可能存在一定的规律性，比如贪心，递推等，但是大部分情况可能只能暴力枚举所有情况找到答案，而暴力枚举这个过程简单的可以用循环实现，但是对于一些比较复杂的情况，需要用递归来实现。
比如数独游戏，在最开始的时候，每个空格子有很多种可能，我们需要先尝试填入一个数，在此基础上再去尝试填入其他格子，在填数过程中，我们会发现当前这种方案可能是错误的，那么我们就需要返回上一步，重新尝试其他可能，这种解题办法我们称为回溯法。

还是老样子，直接用例题来提高熟练度

全排列问题

题目描述

按照字典序输出自然数 $1$ 到 $n$ 所有不重复的排列，即 $n$ 的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

输入格式

一个整数 $n$ 。

输出格式

由 $\sim n$ 组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。

每个数字保留 $5$ 个场宽。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

    1    2    31    3    22    1    32    3    13    1    23    2    1

提示

$\leq n \leq 9$ 。

全排列问题是数学上的一类经典问题，在数学上存在排列公式可以直接快速求解。
但是在实际问题中可能存在一些其他的限制条件，比如某个位置不能放某个数，某个数必须放在某个位置，这种情况下用公式就比较麻烦，所以先考虑一种比较效率低下但是比较万能的方法。
简单来说就是对于每一个位置，依次放入一个之前未使用过的数，当把所有数都放入之后，就表示存在一种答案，当把每个位置的所有情况都尝试之后，累加得到的答案就是正确答案。
我们可以把该题看做有n个格子，依次要把n个数放入这些格子中。对于每一个格子而言，放数的方法都是相同的——找到一个之前未放入的数。
那么我们如何才能知道这个数是否已经使用过了呢？比较简单的办法就是开一个book数组，标记1—n中每一个数的状态。
每次放数的时候，需要考虑两个问题。
第一：所有情况都不能遗漏，即从1枚举到n。
第二：之前放过的数不能重复放，即未被标记。
当n个格子中都有数的时候表示放数结束，得到一种正确方案，记录答案并返回。
前面的做法只考虑了一种情况，比如n=3的时候，找到的第一种排列为1 2 3，接下来我们应该先考虑第3个格子是否还可以放其他数，发现不可以放其他数，那么应该继续返回上一次，即回到第二个格子，第二个格子之前放了数字2，我们考虑是否可以放下一个数字3，发现可以，当第二个格子放了数字3之后，继续考虑第三个格子，发现可以放数字2，此时又找到一种可能的情况。接着继续返回尝试其他可能，当返回到第一个格子的时候，发现可以放数字2，继续到第二个格子，可以放数字1，到第三个格子，可以放数字3，又是一种情况…一次尝试和返回，直到返回主函数为止。

ACcode

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int tmp[100];
bool used[100];
void dfs(int n,int step){if (step==n){for (int i=0;i<n;i++){printf("%5d",tmp[i]);}cout<<endl;return;}for (int i=1;i<=n;i++){if (used[i]==0){tmp[step]=i;used[i]=1;dfs(n,step+1);used[i]=0;//回溯}}
}int main() {int n;cin>>n;dfs(n,0);return 0;
}

借书问题

在这里插入图片描述
对于输入的每个同学喜欢的书的情况，可以开一个二维数组来表示，a[i][j]表示第i位同学是否喜欢第j本书。
对于每一个同学是否可以借这一本书，考虑的情况都是相同的：
（1）这本书是否存在
（2）第i个同学是否喜欢这本书
（3）这本书是否已经在前面被借走了。
当这n位同学都可以借到一本书，那么就表示这种方案是合理的，如果某位同学无书可以借，那么就说明这种方案是错误的，就需要返回上一位同学重新借其他书。
该题还需要输出借书的方案，即我们需要记录每位同学借了哪一本书，再开一个b数组，b[i]=j表示第i位同学借了第j本书。
由于方案不止一种，输出的方案需要按照字典序排列。即前面的同学先借编号小的书，那么我们在枚举的时候就只能从1开始枚举到n，这样得到的可行方案就是按照字典序从小到大排列的。
还有一些题目要求按照字典序从大到小排列，即前面的同学先借编号大的书，这种情况我们需要从n到1枚举。

ACcode

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int n,a[15][15],cnt;
int ans[1000][15],b[15],used[20];inline int read(){int x=0;char ch=0;while (ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();while (ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x;
}void dfs(int k){if (k==n){for (int i=0;i<n;i++){ans[cnt][i]=b[i];}cnt++;}else {for (int i=0;i<n;i++){if (used[i]==0&&a[k][i]==1){used[i]=1;b[k]=i+1;dfs(k+1);used[i]=0;}}}
}
int main(){n=read();for (int i=0;i<n;i++){for (int j=0;j<n;j++){cin>>a[i][j];}}dfs(0);cout<<cnt<<endl;for (int i=0;i<cnt;i++){for (int j=0;j<n;j++){cout<<ans[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;
}

好了，基础的部分已经搞完了，现在我们来看看组合问题
前面我们遇到的问题都是用回溯法求解排列类问题，即选择相同的元素，但是顺序不同算不同的方案。很多时候还会出现另一类问题——组合数问题。即从n个元素中选择m个元素的一个组合，组合和排列的区别在于，组合和顺序没有关系只要每个元素都相同，顺序不同也只算作一种方案，即1,1,5和5,1,1是一个相同的组合。

组合的输出

题目描述

排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从 $n$ 个元素中抽出 $r$ 个元素（不分顺序且 $\le n$ ），我们可以简单地将 $n$ 个元素理解为自然数 $1,2,\dots,n$ ，从中任取 $r$ 个数。

现要求你输出所有组合。

例如 $n = 5, r = 3$ ，所有组合为：

$123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345$ 。

输入格式

一行两个自然数 $\le r \le n)$ 。

输出格式

所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。

注意哦！输出时，每个数字需要 $3$ 个场宽。以 C++ 为例，你可以使用下列代码：

cout << setw(3) << x;

输出占 $3$ 个场宽的数 $x$ 。注意你需要头文件 iomanip。

样例 #1

样例输入 #1

5 3

样例输出 #1

1  2  31  2  41  2  51  3  41  3  51  4  52  3  42  3  52  4  53  4  5

该题的解题策略和前面类似，都是用回溯法尝试所有可能性，找出符合条件的所有方案，但是该题也有和前面不一样的地方，如果按照前面的方式枚举，那么最终得到的答案肯定是有重复的，而且重复了很多次，那么有没有办法避免这种重复的情况呢？要怎么样枚举才能避免重复情况呢？
根据题目的输出我们可以发现，下一个数一定是大于前一个数，这就是一种很好的避免重复的办法，只要我们保证了下一个数大于前一个数，这样一个组合的满足要求的排列有且仅有一个，而且刚好满足字典序最小的要求。

ACcode

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r, n;
int temp[21];void print () {for (int i = 0; i < r; i++) {printf("%3d", temp[i]);}cout << endl;
}void f(int start, int k ) { //k 还有多少个数字没有选if (k == 0) {print();//打印结果return;}for (int i = start; i <= n ; i++) {temp[r - k] = i;f(i + 1, k - 1);}
}int main() {cin >> n >> r;f(1, r);return 0;
}

放苹果

题目描述

把 $m$ 个同样的苹果放在 $n$ 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法。（ $5, 1, 1$ 和 $1, 1, 5$ 是同一种方法）

输入格式

第一行是测试数据的数目 $t$ ，以下每行均包括二个整数 $m$ 和 $n$ ，以空格分开。

输出格式

对输入的每组数据 $m$ 和 $n$ ，用一行输出相应的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1
7 3

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

样例输出 #2

2
4
2

提示

对于所有数据，保证： $1\leq m,n\leq 10$ ， $\leq t \leq 20$ 。

根据题目中的要求，该题仍然是一道组合数问题，即跟选中元素的顺序无关，所以枚举的时候保证下一个元素大于等于下一个元素即可，注意这里可以等于。
但是该题的结束条件有点不一样，当n个盘子都放了苹果之后是不是就一定是一种正确方案了呢？并不是，因为还要保证苹果必须要放完，所以我们还需要记录剩余的苹果数量（或者已经放了的苹果数量）。
同样，当前盘子可以放的苹果数量的范围为k到剩余苹果的数量，甚至还可以精确到剩余苹果数量除以剩余盘子数量。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;int sol(int m, int n) { //m为苹果，n为盘子if (n == 1 || m == 0)return 1;if (m < n)return sol(m, m);if (m >= n)return sol(m, n - 1) + sol(m - n, n);
}int  main() {cin >> t;int m, n;for (int i = 1; i <= t; i++) {cin >> m >> n;cout << sol(m, n) << endl;}return 0;
}

烤鸡

题目背景

猪猪 Hanke 得到了一只鸡。

题目描述

猪猪 Hanke 特别喜欢吃烤鸡（本是同畜牲，相煎何太急！）Hanke 吃鸡很特别，为什么特别呢？因为他有 $10$ 种配料（芥末、孜然等），每种配料可以放 $1$ 到 $3$ 克，任意烤鸡的美味程度为所有配料质量之和。

现在， Hanke 想要知道，如果给你一个美味程度 $n$ ，请输出这 $10$ 种配料的所有搭配方案。

输入格式

一个正整数 $n$ ，表示美味程度。

输出格式

第一行，方案总数。

第二行至结束， $10$ 个数，表示每种配料所放的质量，按字典序排列。

如果没有符合要求的方法，就只要在第一行输出一个 $0$ 。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

提示

对于 $100\%$ 的数据， $\leq 5000$ 。

该题的解题思路比较简单，对于每一种调料，考虑[1,4]两种情况，主要在于时间复杂度的优化。
因为每种调料的范围是[1,4]，在考虑当前第i种调料的时候，之前调料和为sum，需要满足第一个条件是sum+i+(10-step)<=n,即后面每种调料至少要放1g，一共是（10-step）g，还需要满足第二个条件是sum+i+4*(10-step)>=n，即后面每种调料最多放4g。
对于回溯类题目，由于比赛中爆搜一般都不是正解，所以我们要尽可能优化搜索的效率，这样才能得到更高的分数，需要考虑前面是否合理以及后面是否合理。
但是这里作者偷了个懒，你看代码就知道了

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;  int main()  {  int a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,in,x=0;  cin>>in;  for (a=1;a<=4;a++)  {  for (b=1;b<=4;b++)  {  for (c=1;c<=4;c++)  {  for (d=1;d<=4;d++)  {  for (e=1;e<=4;e++)  {  for (f=1;f<=4;f++)  {  for (g=1;g<=4;g++)  {  for(h=1;h<=4;h++)  {  for (i=1;i<=4;i++)  {  for (j=1;j<=4;j++)  {  if (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j==in){  x++;  }  }  }  }  }  }  }  }  }  }  }  cout<<x<<endl;  for (a=1;a<=4;a++){  for (b=1;b<=4;b++){  for (c=1;c<=4;c++){  for (d=1;d<=4;d++){  for (e=1;e<=4;e++)  {  for (f=1;f<=4;f++)  {  for (g=1;g<=4;g++)  {  for(h=1;h<=4;h++)  {  for (i=1;i<=4;i++)  {  for (j=1;j<=4;j++)  {  if (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j==in){  cout<<a<<" ";  cout<<b<<" ";  cout<<c<<" ";  cout<<d<<" ";  cout<<e<<" ";  cout<<f<<" ";  cout<<g<<" ";  cout<<h<<" ";  cout<<i<<" ";  cout<<j<<endl;  }  }  }  }  }  }  }  }  }  }  } return 0; 
}