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10.1 二分查找
10.1.1 区间表示方法
10.1.2 优点与局限性
10.1 二分查找
二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
Question
给定一个长度为 𝑛 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 −1 。示例如图 10-1 所示。
图 10-1 二分查找示例数据
如图 10-2 所示，我们先初始化指针 𝑖=0 和 𝑗=𝑛−1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0,𝑛−1] 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
接下来，循环执行以下两步。
- 计算中点索引 𝑚=⌊(𝑖+𝑗)/2⌋ ，其中 ⌊⌋ 表示向下取整操作。
- 判断
nums[m]和target的大小关系，分为以下三种情况。- 当
nums[m] < target时，说明target在区间 [𝑚+1,𝑗] 中，因此执行 𝑖=𝑚+1 。 - 当
nums[m] > target时，说明target在区间 [𝑖,𝑚−1] 中，因此执行 𝑗=𝑚−1 。 - 当
nums[m] = target时，说明找到target，因此返回索引 𝑚 。
- 当
若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 −1 。
<1><2><3><4><5><6><7>
图 10-2 二分查找流程
值得注意的是，由于 𝑖 和 𝑗 都是 int 类型，因此 𝑖+𝑗 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 𝑚=⌊𝑖+(𝑗−𝑖)/2⌋ 来计算中点。
代码如下所示：
binary_search.c
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int *nums, int len, int target) {// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素int i = 0, j = len - 1;// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）while (i <= j) {int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 mif (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中i = m + 1;else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中j = m - 1;else // 找到目标元素，返回其索引return m;}// 未找到目标元素，返回 -1return -1;
}
时间复杂度为 𝑂(log𝑛) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 log2𝑛 。
空间复杂度为 𝑂(1) ：指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小空间。
10.1.1 区间表示方法
除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0,𝑛) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [𝑖,𝑗) 在 𝑖=𝑗 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：
binary_search.c
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1int i = 0, j = len;// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）while (i < j) {int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 mif (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中i = m + 1;else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中j = m;else // 找到目标元素，返回其索引return m;}// 未找到目标元素，返回 -1return -1;
}
如图 10-3 所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 𝑖 和指针 𝑗 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。
图 10-3 两种区间定义
10.1.2 优点与局限性
二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。
- 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 𝑛=220 时，线性查找需要 220=1048576 轮循环，而二分查找仅需 log2220=20 轮循环。
- 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。
然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 𝑂(𝑛log𝑛) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 𝑛 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
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