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目录
•✨说在前面
🍋知识点一：算法的效率
• 🌰1.斐波那契数列的第n项
• 🌰2.算法的复杂度
🍋知识点二：时间复杂度
• 🌰1.时间复杂度的概念
• 🌰2.大O的渐进表示法
🔥复杂度的一般分析法则
🔥总结求解复杂度的方法
• 🌰3.时间复杂度的量级
• 🌰4.时间复杂度增长趋势
• 🌰5.时间复杂度计算案例
🔥案例1：单个同量级for循环
🔥案例2：多个同量级for循环
🔥案例3：常数控制的for循环
🔥案例4：strchr函数的时间复杂度
🔥案例5：冒泡排序的时间复杂度
🔥案例6：调整语句为i=i*2的for循环
🔥案例7：二分查找的时间复杂度
🔥案例8：递归求阶乘
🔥案例9：递归求斐波那契数列的第n项
🍋知识点三：空间复杂度
• 🌰1.空间复杂度的概念
• 🌰2.空间复杂度计算案例
🔥案例1：冒泡排序的空间复杂度
🔥案例2：递归求阶乘
• ✨SumUp结语
•✨说在前面
亲爱的读者们大家好！💖💖💖，我们又见面了，在之前的阶段我们学习了顺序表、链表，包括单链表和双向链表，还刷了一些算法OJ练习。这些练习，我们有时可以有多种思路和方法解决，那我们如何对这些方法进行取舍呢？哪些方法是最优的呢？为此，我们必须进入学习时间复杂度和空间复杂度的相关知识，相信你学习完后就可以回答这个问题了。
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【数据结构】顺序表专题详解（带图解析）
【数据结构】单链表专题详细分析
【数据结构】双向循环链表专题解析
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🍋知识点一：算法的效率
• 🌰1.斐波那契数列的第n项
在讲解时间复杂度与空间复杂度之前，我们先看一个简单的例子：
练习：写一个程序，求出斐波那契数列的第n项的值。
方法1：迭代法
long long Fibonacci(int n)
{int x1 = 1;int x2 = 1;int x3 = 1;while (n >= 3){x3 = x1 + x2;x1 = x2;x2 = x3;n--;}return x3;
}方法2：递归法
long long Fibonacci(int n)
{if (n == 1 || n == 2)return 1;return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}由观察不难发现，递归的写法明显要比迭代的写法要短的多，那是不是就说明递归的写法就比迭代的写法更好呢？其实不然，实际上用递归来写的话它的运行效率将会大大降低。
比如求第50项，就要先得到49项和48项，要得到第49项，就要得到48项和47项……它会执行很多很多次，这是它效率不高的原因。
所以，项数较大时，我们还是用循环（迭代）的方式来实现。
所以说，我们不能只根据程序的长短就果断地判断程序的好坏。
• 🌰2.算法的复杂度
那究竟如何衡量算法的好坏呢？就是要看程序的时间复杂度和空间复杂度。
算法在编写成可执行的程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源，因此衡量一个算法好坏，一般从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对于空间复杂度很是在乎，但结果计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，转而更加关注他的时间复杂度。
🍋知识点二：时间复杂度
• 🌰1.时间复杂度的概念
定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。
一个算法执行所消耗的时间，从理论上来说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？这显然非常麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
• 🌰2.大O的渐进表示法
实际问题中我们不需要精确的计算执行次数，而只需要大概的执行次数，即使用大O的渐进表示法。
公式如下：
🎉参数：
• T(n)：代码执行所需要的时间，它是n的函数，T(n)代表了算法的时间复杂度。
• n：数据规模的大小，但有可能不止一个，如两个for循环分别循环m、n次，则该参数为m、n。
• f(n)：每行代码执行的次数总和，它是n的函数，但我们只关注最大量级的那一项。
• O：表示T(n)与f(n)之间的关系为正比例，即一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比。
🔥复杂度的一般分析法则
1）单端代码看高频：比如for、while循环。
2）多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
3）嵌套代码求乘积：例如递归、多重循环的结构。
4）多个规模求加法：比如算法中有两个参数控制了两个for循环，那么此时复杂度取二者复杂度之和。
🎉举例：
//请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func(int n)
{int count = 0;for (int i = 0; i < n; ++i){for (int j = 0; j < n; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * n; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}根据复杂度的分析原则，在上面的这个函数Func1中，第一个循环是嵌套结构，for循环嵌套结构执行了n^2次，第二个for循环执行了2n次，最后一个while循环执行了10次。
由此，这个函数中基本语句的执行次数f(n)的表达式为：f(n)=n^2+2n+10，所以T(n)=O(n^2+2n+10)。但是，大O的渐进表示法并不具体代表代码真正的执行时间，而是代表代码执行时间随数据规模n增长的变化趋势。
当n很大时，比如1000、100000，此时公式中的低阶、常量、系数三部分不左右增长趋势，所以都可以忽略，只关注最高阶的那一项就可以了。
所以最终，Func的时间复杂度表示为：T(n)=O(n^2)。
🔥总结求解复杂度的方法
1）只关注循环执行次数最多的一段代码，总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
2）加法法则：若控制两个for循环的数量级相同，则总复杂度取二者复杂度之和。
3）乘法法则：嵌套循环的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。
• 🌰3.时间复杂度的量级
多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长，包括：O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n^2)（平方阶）、O(n^3)（立方阶）。
非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括，
O(2^n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）。
• 🌰4.时间复杂度增长趋势
常见不同数量级的复杂度增长趋势图如下：
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最快的情况：
🎉最坏情况：代码在最坏情况下执行的时间复杂度，即任意输入规模的最大运行次数（上界）。
🎉平均情况：代码在所有情况下执行的次数的加权平均值，即任意输入规模的期望运行次数。
🎉最好情况：代码在最理想情况下执行的时间复杂度，任意输入规模的最小运行次数（下界）。
比如：在一个长度为N的数组中搜索数据x
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
最好情况：1次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据的时间复杂度为O(N)。
• 🌰5.时间复杂度计算案例
🔥案例1：单个同量级for循环
计算Func2的时间复杂度。
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}函数Func2中，第一个for循环执行了2N次，第二个while循环的执行次数是M，但是M为已知量10，量级最大的为2N，所以Func2的时间复杂度为O(N)。
🔥案例2：多个同量级for循环
计算Func3的时间复杂度。
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++k){++count;}for (int k = 0; k < N; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}函数Func3中，第一个for循环执行了M次，第二个for循环执行了N次，且M、N量级相同，所以Func3的时间复杂度为O(M+N)，或O(max(M，N))。
注意：若M>>N，则时间复杂度为O(M)，若M<<N，则时间复杂度为O(N)。
🔥案例3：常数控制的for循环
计算Func4的时间复杂度。
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}函数Func4中，控制for循环的次数为常数，代码不随n的增长而增长，常数阶的时间复杂度为O(1)，即Func4的时间复杂度为O(1)。
🔥案例4：strchr函数的时间复杂度
strchr：strchr() 用于查找字符串中的一个字符，并返回该字符在字符串中第一次出现的位置。
strchr函数模拟实现代码如下：
const char* my_strchr(const char* str, int character)
{assert(str);while (*str){if (*str == character)return str;elsestr++;}
}在strchr查找的过程中，最好的情况是字符character就在下一个字符，一次就可以找到，也就是常数阶，此时时间复杂度为O(1)；最坏的情况是字符character在离位置的无穷远处，也就是线性阶。此时时间复杂度为O(N)；取最坏的情况，所以strchr的时间复杂度为O(N)。
🔥案例5：冒泡排序的时间复杂度
计算冒泡排序BubSort的时间复杂度。
void bubSort(int arr[], int length)
{assert(arr);int flag = 1;while (flag && length--){flag = 0;for (int i = 0; i < length; i++){if (arr[i] > arr[i + 1]){int temp = arr[i];arr[i] = arr[i + 1];arr[i + 1] = temp;flag = 1;}}}
}冒泡排序中，由类似案例2的嵌套循环结构，但是像案例2这样的嵌套循环，它的内层for循环的控制参数是不变的，也就是说，内部循环一共执行了M次，每次执行内部循环都需要循环N次，所以总共的执行次数是M*N，这很好理解，但现在冒泡排序的内部循环一共执行了length次，而第一次for循环length次，第二次length-1次，第三次length-2次...，若考虑最坏的情况，最后到1次。这种情况怎么处理呢？
显然内部for循环的循环次数是一个等差数列，其中公差d=2，首项a1=1，尾项an=length（简写为n），项数为length。对于这样一个等差数列，我们可以对其求和，所得到的结果不就是所有的执行次数了吗？
根据高斯求和公式，很容易计算出等差数列的前n项和，即基本操作的执行次数，显然为平方阶，量级为N^2，所以冒泡排序Bubsort的时间复杂度为O(N^2)。
其实对于案例2这样每次都是循环固定次数的嵌套，或者说，任意的双层嵌套都可以转化为数列求和的问题，如案例2，显然就是一个公差d=0，首项为N，尾项为N，项数为M的等差数列
根据高斯求和公式，也能够分析出基本操作的执行次数，即时间复杂度为O(MN)。
🔥案例6：调整语句为i=i*2的for循环
计算Func5的时间复杂度。
void Func5(int n)
{int x = 0;for (int i = 1; i < n; i *= 2){x++;}
}函数Func5中，这个for循环的调整语句为i*=2，即i每次都是前一次的两倍。这种循环是有规律的，这个我们后面再说。我们先直接分析这个函数，假设基本语句x++执行了N次，那么有循环语句可得：
所以我们得到，执行次数N为对数阶，所以时间复杂度为O(logN)。这里需要注意，为了方便起见，当底数为2时，我们直接将底数2省略不写，
🔥案例7：二分查找的时间复杂度
计算二分查找BinarySearch的时间复杂度。
int BinarySearch(int arr[], int length, int x)
{assert(arr);int left = 0;int right = length - 1;while (left <= right){int mid = left + right - ((left - right) >> 1);if (arr[mid] < x)left = mid + 1;else if (arr[mid] > x)right = mid - 1;else if (mid == x)return x;}return -1;
}在二分查找函数BinarySearch中，如果我们直接观察while循环的话，其实是不太好看出来的，因为left和right时不时都在改变，此时我们不要死盯代码，一定要理解它的实际意义，也可以看图进行观察
最好的情况我们很容易想到，就是要查找的x就在中间，我们一下就找到了，此时是时间复杂度为O(1)。那最坏的情况呢？其实就是当要查找的x在数组的两端的时候，比如x是第一个元素，此时我们设mid到x的距离为n，则mid会以每次靠近一半的速度逼近第一个元素x，也就是每次都除以2，直到这个值等于1，就找到了第一个元素。我们设循环执行了N次，mid第一次的位置为n，则
同样地，如果x是最后一个元素，也是同样的道理。显然为对数阶，所以二分查找BinarySearch的
的时间复杂度为O(logN)。
🔥案例8：递归求阶乘
计算Fact的时间复杂度。
long long Fact(size_t N)
{if (0 == N)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}这是一个递归求阶乘的函数。在函数Fact中，我们假设N=5的情况如下：
可以发现，每次递归的单个函数都是常数阶，即O(1)，而递归总共调用了5+1=6次（Fact(5)、Fact(4)、Fact(3)、Fact(2)、Fact(1)、Fact(0)）。
所以递归的函数我们先看单个函数内部的阶，再看递归了多少次。如果是N，那么每个函数为O(1)，递归了N+1次，那么总共为(N+1)O(1)，所以递归求阶乘函数的时间复杂度为O(N)。
🔥案例9：递归求斐波那契数列的第n项
计算Fibonacci函数的时间复杂度。
long long Fibonacci(int n)
{if (n == 1 || n == 2)return 1;return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}同样的道理，我们看单个函数内部的阶，显然为O(1)，那递归了多少次呢？
我们以n=5为例，此时我们能画出面类似于树状图的结构，在数的每个节点都进而伸出两个节点，第一行为个数为1（2^0），第二行个数为2（2^1），第三行个数为4（2^2）...以此类推，第n行的个数为2^n。但其实上大家能看到，这颗树是歪的，它的底部缺失了一块三角形的部分，但是当n很大时，这些缺失的部分相对于整体的个数其实就很少了，由此我们可以将每一行的递归次数看做一项，那整体就可以看做首项a1=1，公比q=2的等比数列，求和得到的即是全体递归的总次数。
虽然真正的递归次数没有这么多，但是它的量级是不会被影响的，依然是指数阶，所以用递归求斐波那契数列的第n项，它的时间复杂度为O(2^N)。
稍许有些不严谨，在二叉树的部分我们还会提到。
🍋知识点三：空间复杂度
• 🌰1.空间复杂度的概念
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的亮度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本和时间复杂度类似，也是大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式的额外空间来确定。
• 🌰2.空间复杂度计算案例
🔥案例1：冒泡排序的空间复杂度
计算冒泡排序BubSort的空间复杂度。
void bubSort(int arr[], int length)
{assert(arr);int flag = 1;while (flag && length--){flag = 0;for (int i = 0; i < length; i++){if (arr[i] > arr[i + 1]){int temp = arr[i];arr[i] = arr[i + 1];arr[i + 1] = temp;flag = 1;}}}
}在冒泡排序BubSort中，创建了：int flag = 1，int i = 0两个变量，为常数个，所以冒泡排序的空间复杂度为O(1)。
注意：空间复杂度算的是算法中额外开辟的空间，所以数组arr和长度length并不算在内。
🔥案例2：递归求阶乘
计算Fact函数的空间复杂度。
long long Fact(size_t N)
{if (0 == N)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}对于这样的一个递归函数，每次递归都会在栈上创建栈帧空间（函数栈帧），每个栈帧使用了常数个空间，所以空间复杂度为O(N)。
• ✨SumUp结语
数据结构的学习一定要多画图，多理解，多思考，切忌直接抄写代码，就认为自己已经会了，一定到自己动手，才能明白自己哪个地方有问题。
如果大家觉得有帮助，麻烦大家点点赞，如果有错误的地方也欢迎大家指出~
