【贪心算法】发饼干问题详解python

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贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择,从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。贪心算法不像动态规划那样考虑整个问题的最优解结构,而是通过局部最优选择递进到最终的解决方案。这种方法通常更简单、更快速,但需要仔细选择问题场景,因为它并不保证总能得到最优解。

1. 贪心算法的核心思想

贪心算法的核心是构建问题的解决方案的过程中,每一步都选择最优的操作,以便获得最优的解决方案。这些选择在做出时可能看起来是最佳的局部选择,但并不一定能导致全局最优的解决方案。

优点:

  • 简单易实现
  • 运行效率高

缺点:

  • 通常情况下不会得到最优解
  • 对于需要求取全局最优解的问题只能在某些情况下使用

2. 贪心算法的适用条件

贪心算法适用于满足以下两种主要特性的问题:

  • 贪心选择性质:可以通过作出局部最优的选择来构建全局最优解。
  • 最优子结构:一个问题的最优解包含其子问题的最优解。

这意味着局部最优解能递推到全局最优解,即选择最优的当前步骤不会影响之后的步骤。

3. 分发饼干问题

问题描述:假设你是一位很棒的家长,想要给你的孩子们一些饼干,但是只有一定大小的饼干可用。每个孩子最多只能给一块饼干。对每个孩子 i,都有一个胃口值 g[i],这是能满足该孩子的最小饼干大小;并且每块饼干 j,都有一个大小s[j]。如果 s[j] >=g[i],我们可以将这个饼干 j 分配给孩子 i,这个孩子会感到满足。你的目标是尽可能满足更多数量的孩子,并输出最大数目。

贪心策略:为了最大化满足孩子的数量,优先考虑胃口最小的孩子,并给他最小的足以满足他的饼干。即使用从小到大排序后的孩子列表和饼干列表,然后进行匹配。

代码实现

def findContentChildren(g, s):g.sort()s.sort()child_i = cookie_j = 0while child_i < len(g) and cookie_j < len(s):if s[cookie_j] >= g[child_i]:child_i += 1cookie_j += 1return child_i# 示例
g = [1, 2, 3]  # 孩子的胃口值
s = [1, 1]  # 饼干的尺寸
print("最大满足孩子数:", findContentChildren(g, s))  # 输出: 1

为了提供更清晰的理解,我们将通过图解展示上述 findContentChildren 函数的工作过程,并进行详细的算法分析。这个函数旨在通过分配尽可能小的饼干满足尽可能多的孩子,从而解决分发饼干问题。

函数 findContentChildren 图解步骤

初始状态

  • 孩子们的胃口值:g = [1, 2, 3]
  • 饼干的尺寸:s = [1, 1]

第一步:排序

对孩子的胃口和饼干的尺寸进行排序(在这个例子中,孩子的胃口已经有序,饼干同样有序)。

排序后的孩子胃口:g = [1, 2, 3]
排序后的饼干尺寸:s = [1, 1]

第二步:初始化指针

设置两个指针 child_icookie_j 分别用来遍历孩子和饼干数组。

第三步:分配饼干

遍历饼干数组,尝试分配给每个孩子:

  1. 比较第一个饼干 (s[0] = 1) 与第一个孩子 (g[0] = 1):

    • 饼干大小等于孩子的胃口,满足条件。
    • 孩子被满足,两个指针都向前移动一步。
  2. 比较第二个饼干 (s[1] = 1) 与第二个孩子 (g[1] = 2):

    • 饼干大小小于孩子的胃口,不满足条件。
    • 只移动饼干指针,尝试下一个饼干。

由于没有更多的饼干,而且剩余的孩子 (g[2] = 3) 的胃口都比剩下的饼干大,循环结束。

图解展示

孩子/饼干11
1
2X
3
  • 表示孩子被满足。
  • X 表示尝试分配但未能满足孩子。

结束

函数返回 child_i 的值,即 1,表示有一个孩子得到满足。

算法分析

时间复杂度

  • O(n log n + m log m): 其中 n 是孩子的数量,m 是饼干的数量。排序孩子和饼干数组各需要 O(n log n) 和 O(m log m),遍历饼干数组和尝试满足孩子需要 O(m + n)。通常,排序是占主导的部分。

空间复杂度

  • O(1): 除了输入的数组外,只使用了常数额外空间。

优点

  • 简单易实现。
  • 贪心选择保证了使用最少的资源满足最多的孩子。

缺点

  • 贪心算法不一定能得到全局最优解,但在这个问题中它确实能提供最优解。
  • 必须先对数组进行排序,这增加了复杂度。

通过以上详细的图解和步骤分析,我们可以清楚地看到如何用贪心算法解决分发饼干问题,并理解其背后的算法逻辑。

4. 总结

贪心算法适用于一些特定问题,它能提供简单快速的解决方案。但贪心算法的最大挑战是正确证明贪心选择的有效性。在实践中,当一个问题可以通过贪心算法解决时,通常需要对问题有深刻的理解和准确的问题建模,以保证贪心策略的正确性和效率。对于那些不能完全通过贪心解决的问题,可能需要考虑其他算法,如动态规划或回溯算法。

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