学习记忆——数学篇——案例——代数—

学习记忆——数学篇——案例——代数——均值不等式

文章目录

理解记忆法
- 定义
- 定义
- 推导
重点记忆法
用途记忆法
- 使用前提
- 做题应用及易错点
- 两种用法
出题模式法
- 模型识别
谐音记忆法
- 一正二定三相等
秒杀方法

理解记忆法

定义

1.算术平均值：设有n个数 $x_1,x_2,...,x_n$ ，称 $x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ 为这n个数的算术平均值
2.几何平均值：设有n个正数 $x_1,x_2,...,x_n$ ，称 $\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ 为这n个正数的几何平均值
3.基本定理
当 $x_1,x_2,...,x_n$ 为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值， $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ $x_i＞0，i=1,...,n)$ ，当且仅当 $x_1=x_2=...=x_n$ 时，等号成立。
说明：平均值定理的本质是研究“和”与“积”的大小关系，即 $\frac{和}{n}≥\sqrt[n]{积}$
4.最值应用
（1）当乘积为定值时，和有最小值： ${和}≥n\sqrt[n]{积}$
（2）当和为定值时，乘积有最大值： $积≤(\frac{和}{n})^n$
平均值定理求最值：先验证给定函数是否满足最值三条件：①各项均为正；②乘积（或者和）为定值；③等号能否取到；然后利用平均值公式求出最值。可总结为口诀“一正二定三相等”。
5.特殊情况
当n=2时， $a+b≥2\sqrt{ab}(a,b＞0)$ ；尤其 $a+\frac{1}{a}≥2（a＞0）$ 即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于2，且当a=1时取得最小值2。

定义

对于任意实数a，b，有 $a^2+b^2≥2ab$ ，即 $\frac{a^2+b^2}{2}≥ab$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立。
特别地，如果 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，可得 $a+b≥2\sqrt{ab}$ ，即 $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$ 。（均值不等式），当且仅当a=b时等号成立。

（1）当 $x_1,x_2,...,x_n$ 为n个正实数时， $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}(x_i＞0，i=1,...,n)$ ，当且仅当 $x_1=x_2=...=x_n时，等号成立。$
（2） $a+b≥2\sqrt{ab}，ab≤\frac{(a+b)^2}{4}（a,b＞0）$
（3） $a+\frac{1}{a}≥2（a＞0）$

推导

均值不等式是由完全平方公式推导而来的

∵ $a-b)^2≥0$
∴ $a^2-2ab+b^2≥0$
∴ $a^2+b^2≥2ab$ ，这就是均值不等式了
∴ 当且仅当 $a = b$ 时等号成立
注意：a，b可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。如： $x+\frac{2}{x}(x＞0)，\frac{2}{x}+\frac{x}{2}(x＞0)，2^x+2^y≥2\sqrt{2^{x+y}}，log^b_a+log^a_b(log^b_a＞0)，sinx+\frac{2}{sinx}(sinx＞0)$

重点记忆法

完全平方→均值不等式→求最值→前提为“一正二定三相等”→“正”为正数，“定”为定值，“相等”为等号成立→
算术平均值大于几何平均值→均值不等式→
重要不等式链：若a＞0，b＞0，则
$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
当且仅当a=b时等号成立，此不等式链可以扩展到n个数。
【调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数】
常用变形
$a^2+b^2≥2ab$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac$
$a+b≥2\sqrt{ab}$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}$
$(\frac{a+b}{2})^2≥ab$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $(\frac{a+b+c}{2})^3≥abc$

用途记忆法

均值不等式的两个作用：求最值、证明不等式。

使用前提

利用均值不等式前一定要验证三要素“一正二定三相等”。

均值不等式的使用前提条件：正、定、等同时成立。均值不等式中还有一个需要注意的地方： $a,b\in{R}$

利用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”：
① 一正（使用均值不等式的前提）： $x_1,x_2,...,x_n$ 为正实数；
② 二定（使用均值不等式的目标）：和为定值或积为定值时才有最值；
③ 三相等（取到最值时的条件）：当且仅当 $x_1=x_2=...=x_n$ 时，等号成立。

做题应用及易错点

1.最值口诀
当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，
正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2.最值条件
求最值的条件“一正，二定，三等”。
先验证给定函数是否满足最值三条件：
（1）各项均为正，（2）乘积（或者和）为定值，（3）等号能否取到；然后利用平均值公式求出最值。
3.应用
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。

两种用法

一、是直接使用，形如： $x+\frac{k}{x}(k＞0)$
二、变形后再使用，有好几种，这也是难点所在
1. 负化正
2. 拆添项
3. 凑系数
4. 限定条件下的最值(常数代换，乘常数再除常数），如已知 $2 a + 3 b = 2 ， a > 0 ， b > 0$ ，求 $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$ 的最小值。
5. 构造 $ax+\frac{b}{x}$ 型，（此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数），形如 $\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a,b,c,d,e为常数)$ 通过“配凑法”或“代换法”转为 $ax+\frac{b}{x}$ 型（分子上使用均值不等式）；形如 $\frac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a,b,c,d,e为常数)$ 通过“配凑法”或“代换法”转为 $\frac{1}{ax+{\frac{b}{x}}}$ 型（分母上使用均值不等式）
6. 均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性。

出题模式法

1.题目明确告诉参数为正值。
2.题目中明确对于正数某某某，然后给出一个恒等式。
3.对于在几何题目或者应用题题目中一些常见的（例如边长，速度，时间）等这些默认为正值的，最后出现了让我们求最值时，就要考虑到用均值不等式的思路。

总结：均值不等式凑二定的方法
A.凑和为定值（出题形式：以整式求最值出现）
B.凑积为定值（出题形式：以分式求最值形式出现）
固定思路：均分（为了满足三相等）
C.乘“1”法（出题形式，以整式+分式求最值形式出现）。如果不是1，将其化为1即可。

模型识别

（1）已知几个字母的和或积的值，求另外一个代数式的最值。
（2）类似对勾函数的问题。

谐音记忆法

一正二定三相等

设 $x_1,x_2,...,x_n$ 为正实数，则这n个数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即 $\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1·x_2·x_3·...·x_n}$ ，当且仅当 $x_1=x_2=x_3=...=x_n$ 时，等号成立。
利用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”：
① 一正（使用均值不等式的前提）： $x_1,x_2,...,x_n$ 为正实数；
② 二定（使用均值不等式的目标）：和为定值或积为定值时才有最值；
③ 三相等（取到最值时的条件）：当且仅当 $x_1=x_2=...=x_n$ 时，等号成立。

一正二定三相等”→“正”为正数，“定”为定值，“相等”为等号成立

秒杀方法

直接取等法
均值不等式的解题口诀为“一正二定三相等"。“三相等”的意思是均值不等式等号成立的条件为不等式中的几个对象相等，故有些题可直接取等，得出结果。
特殊值法
遇到题干中全是字母的不等式问题，无论是不是考查均值不等式，往往都可以使用特殊值法求解。
对勾化
对勾化考法有以下两种形式：
（1）已知 $a x + b y = c$ ，求 $\frac{m}{x}+\frac{n}{y}$ 的最小值（a，b，m，n均为正数）；
（2）已知 $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$ ，求 $m x + n y$ 的最小值。
这两种考法的最小值都为 $\frac{1}{c}(\sqrt{ma}+\sqrt{nb})^2$ 。
【注意】根号里面分别为：与x相关的系数相乘，与y相关的系数相乘。