数据结构与算法（四）：哈希表

参考引用

  • Hello 算法
  • Github：hello-algo

1. 哈希表

1.1 哈希表概述

  • 哈希表（hash table），又称散列表，其通过建立键 key 与值 value 之间的映射，实现高效的元素查询

    • 具体而言，向哈希表输入一个键 key ，则可以在 O(1) 时间内获取对应的值 value

  • 如下图所示，给定 n 个学生，每个学生都有 “姓名” 和 “学号” 两项数据。假如希望实现 “输入一个学号，返回对应的姓名” 的查询功能，则可以采用下图所示的哈希表来实现

在这里插入图片描述

  • 除哈希表外，数组和链表也可以实现查询功能，它们的效率对比如下图所示
    • 在哈希表中进行增删查改的时间复杂度都是 O(1)，非常高效

在这里插入图片描述

1.2 哈希表常用操作

  • 哈希表的常见操作包括：初始化、查询操作、添加键值对和删除键值对等
/* 1、初始化哈希表 */
unordered_map<int, string> map;/* 2、添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈";
map[15937] = "小啰";
map[16750] = "小算";
map[13276] = "小法";
map[10583] = "小鸭";/* 3、查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
string name = map[15937];/* 4、删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.erase(10583);
  • 哈希表有三种常用遍历方式：遍历键值对、遍历键和遍历值
    /* 5、遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (auto kv: map) {cout << kv.first << " -> " << kv.second << endl;
}
// 单独遍历键 key
for (auto kv: map) {cout << kv.first << endl;
}
// 单独遍历值 value
for (auto kv: map) {cout << kv.second << endl;
}

1.3 哈希表简单实现

基于数组实现哈希表
  • 在哈希表中，将数组中的每个空位称为桶（bucket），每个桶可存储一个键值对。因此，查询操作就是找到 key 对应的桶，并在桶中获取 value。如何基于 key 来定位对应的桶呢？通过哈希函数（hash function）实现
    • 哈希函数的作用：将一个较大的输入空间映射到一个较小的输出空间
    • 在哈希表中，输入空间是所有 key，输出空间是所有桶（数组索引）。换句话说，输入一个 key，可以通过哈希函数得到该 key 对应的键值对在数组中的存储位置
  • 输入一个 key，哈希函数的计算过程分为以下两步
    • 通过某种哈希算法 hash() 计算得到哈希值
    • 将哈希值对桶数量（数组长度，capacity）取模，从而获取该 key 对应的数组索引 index
    index = hash(key) % capacity
  • 随后，就可以利用 index 在哈希表中访问对应的桶，从而获取 value。设数组长度 capacity = 100、哈希算法 hash(key) = key，易得哈希函数为 key % 100。下图以 key 学号和 value 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理

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/* 键值对 */
struct Pair {
public:int key;string val;Pair(int key, string val) {// 使用 this 指针来引用当前对象的成员变量，将传入的参数赋值给成员变量 key 和 valthis->key = key;this->val = val;}
};/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private:vector<Pair *> buckets;public:ArrayHashMap() {// 初始化数组，包含 100 个桶buckets = vector<Pair *>(100);}~ArrayHashMap() {// 释放内存for (const auto &bucket : buckets) {delete bucket;}buckets.clear();}/* 哈希函数 */int hashFunc(int key) {int index = key % 100;return index;}/* 查询操作 */string get(int key) {int index = hashFunc(key);Pair *pair = buckets[index];if (pair == nullptr)return "";return pair->val;}/* 添加操作 */void put(int key, string val) {Pair *pair = new Pair(key, val);int index = hashFunc(key);buckets[index] = pair;}/* 删除操作 */void remove(int key) {int index = hashFunc(key);// 释放内存并置为 nullptrdelete buckets[index];buckets[index] = nullptr;}/* 获取所有键值对 */vector<Pair *> pairSet() {vector<Pair *> pairSet;for (Pair *pair : buckets) {if (pair != nullptr) {pairSet.push_back(pair);}}return pairSet;}/* 获取所有键 */vector<int> keySet() {vector<int> keySet;for (Pair *pair : buckets) {if (pair != nullptr) {keySet.push_back(pair->key);}}return keySet;}/* 获取所有值 */vector<string> valueSet() {vector<string> valueSet;for (Pair *pair : buckets) {if (pair != nullptr) {valueSet.push_back(pair->val);}}return valueSet;}/* 打印哈希表 */void print() {for (Pair *kv : pairSet()) {cout << kv->key << " -> " << kv->val << endl;}}
};

1.4 哈希冲突与扩容

  • 本质上看，哈希函数的作用是将所有 key 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间，而输入空间往往远大于输出空间。因此，理论上一定存在 “多个输入对应相同输出” 的情况
  • 对于上述示例中的哈希函数，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的输出结果也相同。例如，查询学号为 12836 和 20336 的两个学生时，得到
    12836 % 100 = 36
20336 % 100 = 36
  • 如下图所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。将这种多个输入对应同一输出的情况称为哈希冲突（hash collision）

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  • 容易想到，哈希表容量越大，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。因此，可以通过扩容哈希表来减少哈希冲突。如下图所示，扩容前键值对 (136, A) 和 (236, D) 发生冲突，扩容后冲突消失

在这里插入图片描述

类似于数组扩容，哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表，非常耗时。并且由于哈希表容量 capacity 改变，需要通过哈希函数来重新计算所有键值对的存储位置，这进一步提高了扩容过程的计算开销。为此，通常会预留足够大的哈希表容量，防止频繁扩容

  • 负载因子是哈希表的一个重要概念，其定义为哈希表的元素数量除以桶数量，用于衡量哈希冲突的严重程度，也常被作为哈希表扩容的触发条件

2. 哈希冲突

  • 通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一桶索引

  • 哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，可以采用以下策略

    • 改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作
    • 仅在哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作

哈希表的结构改良方法主要包括 “链式地址” 和 “开放寻址”

2.1 链式地址

  • 在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。链式地址（separate chaining）将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子

在这里插入图片描述

  • 基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化

    • 查询元素
      • 输入 key，经过哈希函数得到桶索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对
    • 添加元素
      • 先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中
    • 删除元素
      • 根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除

  • 链式地址存在以下局限性

    • 占用空间增大，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间
    • 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {private:int size;                       // 键值对数量int capacity;                   // 哈希表容量double loadThres;               // 触发扩容的负载因子阈值int extendRatio;                // 扩容倍数vector<vector<Pair *>> buckets; // 桶数组public:/* 构造方法 */HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3.0), extendRatio(2) {buckets.resize(capacity);}/* 析构方法 */~HashMapChaining() {for (auto &bucket : buckets) {for (Pair *pair : bucket) {// 释放内存delete pair;}}}/* 哈希函数 */int hashFunc(int key) {return key % capacity;}/* 负载因子 */double loadFactor() {return (double)size / (double)capacity;}/* 查询操作 */string get(int key) {int index = hashFunc(key);// 遍历桶，若找到 key 则返回对应 valfor (Pair *pair : buckets[index]) {if (pair->key == key) {return pair->val;}}// 若未找到 key 则返回空字符串return "";}/* 添加操作 */void put(int key, string val) {// 当负载因子超过阈值时，执行扩容if (loadFactor() > loadThres) {extend();}int index = hashFunc(key);// 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回for (Pair *pair : buckets[index]) {if (pair->key == key) {pair->val = val;return;}}// 若无该 key ，则将键值对添加至尾部buckets[index].push_back(new Pair(key, val));size++;}/* 删除操作 */void remove(int key) {int index = hashFunc(key);auto &bucket = buckets[index];// 遍历桶，从中删除键值对for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {if (bucket[i]->key == key) {Pair *tmp = bucket[i];bucket.erase(bucket.begin() + i); // 从中删除键值对delete tmp;                       // 释放内存size--;return;}}}/* 扩容哈希表 */void extend() {// 暂存原哈希表vector<vector<Pair *>> bucketsTmp = buckets;// 初始化扩容后的新哈希表capacity *= extendRatio;buckets.clear();buckets.resize(capacity);size = 0;// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表for (auto &bucket : bucketsTmp) {for (Pair *pair : bucket) {put(pair->key, pair->val);// 释放内存delete pair;}}}/* 打印哈希表 */void print() {for (auto &bucket : buckets) {cout << "[";for (Pair *pair : bucket) {cout << pair->key << " -> " << pair->val << ", ";}cout << "]\n";}}
};

当链表很长时，查询效率 O(n) 很差。此时可以将链表转换为 “AVL 树” 或 “红黑树”，从而将查询操作的时间复杂度优化至 O(log n)

2.2 开放寻址

  • 开放寻址（open addressing）不引入额外的数据结构，而是通过 “多次探测” 来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等
2.2.1 线性探测

  • 线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同

    • 插入元素
      • 通过哈希函数计算桶索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1），直至找到空桶，将元素插入其中
    • 查找元素
      • 若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可
      • 如果遇到空桶，说明目标元素不在哈希表中，返回 None

  • 下图展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 key 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中

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  • 然而，线性探测容易产生 “聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化
  • 不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在

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  • 为了解决该问题，可以采用懒删除（lazy deletion）机制

    • 它不直接从哈希表中移除元素，而是利用一个常量 TOMBSTONE 来标记这个桶
    • 在该机制下，None 和 TOMBSTONE 都代表空桶，都可以放置键值对
    • 但不同的是，线性探测到 TOMBSTONE 时应该继续遍历，因为其之下可能还存在键值对

  • 然而，懒删除可能会加速哈希表的性能退化。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记，随着 TOMBSTONE 的增加，搜索时间也会增加，因为线性探测可能需要跳过多个 TOMBSTONE 才能找到目标元素

    • 为此，考虑在线性探测中记录遇到的首个 TOMBSTONE 的索引，并将搜索到的目标元素与该 TOMBSTONE 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时，元素会被移动至距离理想位置（探测起始点）更近的桶，从而优化查询效率

  • 以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址（线性探测）哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间，将哈希表看作是一个 “环形数组”，当越过数组尾部时，回到头部继续遍历

    /* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {private:int size;                             // 键值对数量int capacity = 4;                     // 哈希表容量const double loadThres = 2.0 / 3.0;     // 触发扩容的负载因子阈值const int extendRatio = 2;            // 扩容倍数vector<Pair *> buckets;               // 桶数组Pair *TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记public:/* 构造方法 */HashMapOpenAddressing() : size(0), buckets(capacity, nullptr) {}/* 析构方法 */~HashMapOpenAddressing() {for (Pair *pair : buckets) {if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {delete pair;}}delete TOMBSTONE;}/* 哈希函数 */int hashFunc(int key) {return key % capacity;}/* 负载因子 */double loadFactor() {return (double)size / capacity;}/* 搜索 key 对应的桶索引 */int findBucket(int key) {int index = hashFunc(key);int firstTombstone = -1;// 线性探测，当遇到空桶时跳出while (buckets[index] != nullptr) {// 若遇到 key ，返回对应桶索引if (buckets[index]->key == key) {// 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引if (firstTombstone != -1) {buckets[firstTombstone] = buckets[index];buckets[index] = TOMBSTONE;return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引}return index; // 返回桶索引}// 记录遇到的首个删除标记if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {firstTombstone = index;}// 计算桶索引，越过尾部返回头部index = (index + 1) % capacity;}// 若 key 不存在，则返回添加点的索引return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;}/* 查询操作 */string get(int key) {// 搜索 key 对应的桶索引int index = findBucket(key);// 若找到键值对，则返回对应 valif (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {return buckets[index]->val;}// 若键值对不存在，则返回空字符串return "";}/* 添加操作 */void put(int key, string val) {// 当负载因子超过阈值时，执行扩容if (loadFactor() > loadThres) {extend();}// 搜索 key 对应的桶索引int index = findBucket(key);// 若找到键值对，则覆盖 val 并返回if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {buckets[index]->val = val;return;}// 若键值对不存在，则添加该键值对buckets[index] = new Pair(key, val);size++;}/* 删除操作 */void remove(int key) {// 搜索 key 对应的桶索引int index = findBucket(key);// 若找到键值对，则用删除标记覆盖它if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {delete buckets[index];buckets[index] = TOMBSTONE;size--;}}/* 扩容哈希表 */void extend() {// 暂存原哈希表vector<Pair *> bucketsTmp = buckets;// 初始化扩容后的新哈希表capacity *= extendRatio;buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);size = 0;// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表for (Pair *pair : bucketsTmp) {if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {put(pair->key, pair->val);delete pair;}}}/* 打印哈希表 */void print() {for (Pair *pair : buckets) {if (pair == nullptr) {cout << "nullptr" << endl;} else if (pair == TOMBSTONE) {cout << "TOMBSTONE" << endl;} else {cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;}}}
};
2.2.2 平方探测

  • 平方探测与线性探测类似，都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单地跳过一个固定的步数，而是跳过 “探测次数的平方” 的步数，即 1, 4, 9, … 步

  • 平方探测优点

    • 平方探测通过跳过平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应
    • 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀

  • 平方探测缺点

    • 仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用
    • 由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它
2.2.3 多次哈希
  • 多次哈希使用多个哈希函数 f_1(x)、f_2(x)、f_3(x)、… 进行探测
    • 插入元素
      • 若哈希函数 f_1(x) 出现冲突，则尝试 f_2(x)，以此类推，直到找到空桶后插入元素
    • 查找元素
      • 在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回
      • 或当遇到空桶或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 None

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量

3. 哈希算法

无论是开放寻址还是链地址法，它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生

  • 如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如下图所示，对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 O(n)

在这里插入图片描述

  • 键值对的分布情况由哈希函数决定
    index = hash(key) % capacity // 哈希函数
    • 当哈希表容量 capacity 固定时，哈希算法 hash() 决定了输出值，进而决定了键值对在哈希表中的分布情况。这意味着，为了减小哈希冲突的发生概率，应当将注意力集中在哈希算法 hash() 的设计上

3.1 哈希算法的设计

  • 加法哈希
    • 对输入的每个字符的 ASCII 码进行相加，将得到的总和作为哈希值
  • 乘法哈希
    • 利用了乘法的不相关性，每轮乘以一个常数，将各个字符的 ASCII 码累积到哈希值中
  • 异或哈希
    • 将输入数据的每个元素通过异或操作累积到一个哈希值中
  • 旋转哈希
    • 将每个字符的 ASCII 码累积到一个哈希值中，每次累积之前都会对哈希值进行旋转操作
    /* 加法哈希 */
int addHash(string key) {long long hash = 0;const int MODULUS = 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash = (hash + (int)c) % MODULUS;}return (int)hash;
}/* 乘法哈希 */
int mulHash(string key) {long long hash = 0;const int MODULUS = 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash = (31 * hash + (int)c) % MODULUS;}return (int)hash;
}/* 异或哈希 */
int xorHash(string key) {int hash = 0;const int MODULUS = 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash ^= (int)c;}return hash & MODULUS;
}/* 旋转哈希 */
int rotHash(string key) {long long hash = 0;const int MODULUS = 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash = ((hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ (int)c) % MODULUS;}return (int)hash;
}
  • 每种哈希算法的最后一步都是对大质数 1000000007 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，或者说对合数取模的弊端是什么？
    • 当使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突
    • 通常选取质数作为模数，并且这个质数最好足够大，以尽可能消除周期性模式，提升哈希算法的稳健性

3.2 常见哈希算法

上述简单哈希算法比较脆弱，比如：由于加法和异或满足交换律，因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串，这可能会加剧哈希冲突，并引起一些安全问题

  • 在实际中，通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5、SHA-1、SHA-2、SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值
    • MD5 和 SHA-1 已多次被成功攻击，因此它们被各类安全应用弃用
    • SHA-2 系列中的 SHA-256 是最安全的哈希算法之一，仍未出现成功的攻击案例，因此常被用在各类安全应用与协议中
    • SHA-3 相较 SHA-2 的实现开销更低、计算效率更高，但目前使用覆盖度不如 SHA-2 系列

在这里插入图片描述

3.3 数据结构的哈希值

  • 哈希表的 key 可以是整数、小数或字符串等数据类型。编程语言通常会为这些数据类型提供内置的哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引

    int num = 3;
size_t hashNum = hash<int>()(num);
// 整数 3 的哈希值为 3bool bol = true;
size_t hashBol = hash<bool>()(bol);
// 布尔量 1 的哈希值为 1double dec = 3.14159;
size_t hashDec = hash<double>()(dec);
// 小数 3.14159 的哈希值为 4614256650576692846string str = "Hello 算法";
size_t hashStr = hash<string>()(str);
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 15466937326284535026// 在 C++ 中，内置 std:hash() 仅提供基本数据类型的哈希值计算
// 数组、对象的哈希值计算需要自行实现

  • 在许多编程语言中，只有不可变对象才可作为哈希表的 key。假如将列表（动态数组）作为 key ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，就无法在哈希表中查询到原先的 value

  • 虽然自定义对象（比如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的。这是因为对象的哈希值通常是基于内存地址生成的，即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的

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在平时我们使用电脑中&#xff0c;经常会遇到各种问题&#xff0c;比如msvcp100.dll文件丢失&#xff0c;那这个msvcp100.dll文件丢失需要怎么修复解决呢&#xff1f;和msvcp100.dll为什么会丢失呢&#xff0c;下面我一点点为大家解答与介绍解决msvcp100.dll丢失问题的方法。 一…
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Redisson—分布式服务

Redisson—分布式服务

一、 分布式远程服务&#xff08;Remote Service&#xff09; 基于Redis的Java分布式远程服务&#xff0c;可以用来通过共享接口执行存在于另一个Redisson实例里的对象方法。换句话说就是通过Redis实现了Java的远程过程调用&#xff08;RPC&#xff09;。分布式远程服务基于可…
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【JVM】运行时数据区(内存区域划分)详解

【JVM】运行时数据区(内存区域划分)详解

文章目录 前言一、JVM 运行时数据区1, 堆2, Java 虚拟机栈3, 本地方法栈4, 程序计数器5, 元数据区 / 方法区 二、内存异常问题1, 栈溢出2, 内存溢出3, 内存泄露 总结 前言 &#x1f4d5;各位读者好, 我是小陈, 这是我的个人主页 &#x1f4d7;小陈还在持续努力学习编程, 努力通…
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Minecraft个人服务器搭建自己的皮肤站并实现外置登录更换自定义皮肤组件

Minecraft个人服务器搭建自己的皮肤站并实现外置登录更换自定义皮肤组件

Minecraft个人服务器搭建自己的皮肤站并实现外置登录更换自定义皮肤组件 大家好&#xff0c;我是艾西有不少小伙伴非常喜欢我的世界Minecraft游戏&#xff0c;今天小编跟大家分享下Minecraft个人服务器怎么设置皮肤站。 Minecraft皮肤站是什么&#xff1f;其实官网就有皮肤站…
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关于智能空气动力学

关于智能空气动力学

智能空气动力学是指运用智能科学方法和研究范式研究空气运动&#xff0c;尤其是物体与空气相对运动时空气对物体所施作用力规律、气体的流动规律和伴随发生的物理学变化&#xff0c;解决空气动力学问题的新的交叉学科。在空气动力学三大传统研究手段的基础上&#xff0c;智能空…
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【Overload游戏引擎分析】画场景网格的Shader

【Overload游戏引擎分析】画场景网格的Shader

Overload引擎地址&#xff1a; GitHub - adriengivry/Overload: 3D Game engine with editor 一、栅格绘制基本原理 Overload Editor启动之后&#xff0c;场景视图中有栅格线&#xff0c;这个在很多软件中都有。刚开始我猜测它应该是通过绘制线实现的。阅读代码发现&#xff0…
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STM32复习笔记（二）：GPIO

STM32复习笔记（二）：GPIO

目录 &#xff08;一&#xff09;Demo流程 &#xff08;二&#xff09;工程配置 &#xff08;三&#xff09;代码部分 &#xff08;四&#xff09;外部中断&#xff08;EXTI&#xff09; &#xff08;一&#xff09;Demo流程 首先&#xff0c;板子上有4个按键&#xff0c;…
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外包做了3个月，技术退步明显。。。。。

外包做了3个月，技术退步明显。。。。。

先说一下自己的情况&#xff0c;大专生&#xff0c;17年通过校招进入广州某软件公司&#xff0c;干了接近4年的功能测试&#xff0c;今年年初&#xff0c;感觉自己不能够在这样下去了&#xff0c;长时间呆在一个舒适的环境会让一个人堕落!而我已经在一个企业干了四年的功能测试…
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网络初识必知会

网络初识必知会

局域网&#xff1a;把一些设备通过交换机/路由器连接起来 广域网&#xff1a;把更多的局域网也相互连接&#xff0c;当网络规模足够大的 交换机&#xff1a;组网过程中的重要设备&#xff01; 路由器&#xff1a;组网过程中的重要设备&#xff01; IP地址&#xff1a;描述一…
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什么，这年头还有人不知道404

什么，这年头还有人不知道404

写在前面 哥&#xff0c;来帮我看看&#xff0c;这个请求怎么404了&#xff0c;明明接口路径是对的啊&#xff01;一个下午&#xff0c;组里的小哥突然让我帮忙看这个问题&#xff0c;我不禁一惊&#xff0c;啥&#xff0c;这年头了还有人搞不定404&#xff0c;如有还有&#…
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